6.6: Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana nazywana jest średnią lub średnią „długoterminową”. Oznacza to, że w długim okresie ciągłego eksperymentowania można spodziewać się takiej średniej. Oczekiwana średnia jest oznaczona symbolem μ. Oblicza się ją w następujący sposób:

W równaniu x oznacza zdarzenie, a P(x) oznacza prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia.

Wartość oczekiwana ma praktyczne zastosowania w teorii decyzji.

Ten tekst jest adaptacją Openstax, Introductory Statistics, Section 4.2 Mean or Expected Value and Standard Deviation.

Rozważmy rozkład prawdopodobieństwa uzyskany przez sto razy rzucone kostką. Średnią oblicza się za pomocą jej wzoru.

Wraz ze wzrostem n wartość średnia ulega wahaniom, ale jak widać na tym wykresie średniej w stosunku do liczby prób, średnia stopniowo zbliża się do stałej wartości wraz ze wzrostem prób.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej to wartość średnia, gdy wielkość próby rośnie do nieskończoności. Mówiąc prościej, jest to długoterminowa średnia wyników.

Tak więc jego formuła jest podobna do średniej.

Pojęcie wartości oczekiwanej jest użyteczne w teorii decyzji. Jeśli postawisz dziesięć dolarów na numer 8 w ruletce, istnieje 37 z 38 szans na przegraną i jedna z 38 szans na wygraną.

Jeśli wygrana na stole wynosi 360 dolarów, zysk netto w tym małym wydarzeniu losowym wyniesie 350 dolarów.

Iloczyn zmiennej losowej wraz z jej prawdopodobieństwem jest sumowany w celu uzyskania wartości oczekiwanej.

Ta liczba mówi nam, że można spodziewać się utraty 53 centów na każdy zakład o wartości dziesięciu dolarów.