Równomierna dystrybucja

Rozkład jednorodny to ciągły rozkład prawdopodobieństwa zdarzeń o równym prawdopodobieństwie wystąpienia. Ten rozkład jest prostokątny.

Dwie zasadnicze właściwości tego rozkładu to

1. Obszar pod kształtem prostokąta jest równy 1.
2. Istnieje zależność między prawdopodobieństwem zdarzenia a obszarem pod krzywą.

Ponadto średnią i odchylenie standardowe rozkładu jednorodnego można obliczyć, gdy podane są dolne i górne punkty odcięcia, oznaczone odpowiednio jako a i b. Dla zmiennej losowej x, w rozkładzie jednostajnym, przy danych a i b, funkcja gęstości prawdopodobieństwa wynosi f(x) jest obliczana jako

Weźmy pod uwagę dane dotyczące 55 razy uśmiechu (w ciągu kilku sekund) ośmiotygodniowego dziecka:

10,4, 19,6, 18,8, 13,9, 17,8, 16,8, 21,6, 17,9, 12,5, 11,1, 4,9, 12,8, 14,8, 22,8, 20,0, 15,9, 16,3, 13,4, 17,1, 14,5, 19,0, 22,8, 1,3, 0,7, 8,9, 11,9, 10,9, 7,3, 5,9, 3,7, 17,9, 19,2, 9,8, 5,8, 6,9, 2,6, 5,8, 21,7, 11,8, 3,4, 2,1, 4,5, 6,3, 10,7, 8,9, 9,4, 9,4, 7,6, 10,0, 3,3, 6,7, 7,8, 11,6, 13,8 i. Załóżmy, że czasy uśmiechu mają równomierny rozkład od zera do 23 sekund włącznie. Zwróć uwagę, że zero i 23 to dolne i górne punkty odcięcia dla równomiernego rozkładu czasów uśmiechu.

Ponieważ rozkład czasów uśmiechu jest rozkładem jednostajnym, można powiedzieć, że każdy czas uśmiechu od zera do 23 sekund włącznie ma równe prawdopodobieństwo wystąpienia. Histogram, który można skonstruować na podstawie próby, jest rozkładem empirycznym, który ściśle odpowiada teoretycznemu rozkładowi jednorodnemu.

W tym przykładzie zmienna losowa x = długość uśmiechu ośmiotygodniowego dziecka w sekundach. Notacja rozkładu równomiernego to x ~ U(a, b), gdzie a = najniższa wartość (dolna wartość odcięcia) x, a b = najwyższa wartość (górna wartość odcięcia) x. W tym przykładzie a = 0 i b = 23.

Średnią, μ, oblicza się za pomocą następującego równania:

Średnia dla tego rozkładu wynosi 11,50 sekundy. Uśmiech ośmiotygodniowego dziecka utrzymuje się średnio przez 11,50 sekundy.

Odchylenie standardowe, σ, oblicza się za pomocą wzoru:

Odchylenie standardowe dla tego przykładu wynosi 6,64 sekundy.

Ten tekst został zaadaptowany z Openstax, Introductory Statistics, Section 5.2 The Uniform Distribution