6.9: Rozkład równomierny

Rozkład równomierny to ciągły rozkład prawdopodobieństwa zdarzeń o jednakowym prawdopodobieństwie wystąpienia. Rozkład ten jest prostokątny.

Dwie zasadnicze właściwości tego rozkładu to

1. Pole pod prostokątem wynoszące 1.
2. Zgodność pomiędzy prawdopodobieństwem zdarzenia a polem pod krzywą.

Ponadto, średnią i odchylenie standardowe rozkładu równomiernego można obliczyć, gdy zostaną podane dolne i górne punkty odcięcia, oznaczone odpowiednio jako a i b. Dla zmiennej losowej x w rozkładzie równomiernym, biorąc pod uwagę aib, funkcję gęstości prawdopodobieństwa f(x) oblicza się jako

Rozważmy dane dotyczące 55 razy uśmiechu ośmiotygodniowego dziecka w sekundach:

10,4, 19,6, 18,8, 13,9, 17,8, 16,8, 21,6, 17,9, 12,5, 11,1, 4,9, 12,8, 14,8, 22,8, 20,0, 15,9, 16,3, 13,4, 17,1, 14,5, 19. 0, 22,8, 1,3, 0,7, 8,9, 11,9, 10,9, 7,3, 5,9, 3,7, 17,9, 19,2, 9,8, 5,8, 6,9, 2,6, 5,8, 21,7, 11,8, 3,4, 2,1, 4,5, 6,3, 10,7, 8,9, 9,4, 9,4, 7,6, 10,0, 3,3, 6,7, 7,8, 11,6, 13,8 i 18,6. Załóżmy, że czasy uśmiechania się mają równomierny rozkład od 0 do 23 sekund włącznie. Należy zauważyć, że 0 i 23 to dolna i górna granica równomiernego rozkładu czasów uśmiechu.

Ponieważ rozkład czasów uśmiechu jest rozkładem równomiernym, można powiedzieć, że każdy czas uśmiechu od 0 do 23 sekund włącznie ma równe prawdopodobieństwo wystąpienia. Histogram, który można skonstruować na podstawie próbki, jest rozkładem empirycznym, który jest ściśle zgodny z teoretycznym rozkładem równomiernym.

W tym przykładzie zmienna losowa x = długość uśmiechu ośmiotygodniowego dziecka w sekundach. Notacja rozkładu równomiernego to x ~ U(a, b), gdzie a = najniższa wartość (dolna granica) x i b = najwyższa wartość (górna granica) x. W tym przykładzie a = 0 i b = 23.

Średnią μ oblicza się za pomocą następującego równania:

Średnia dla tego rozkładu wynosi 11,50 sekundy. Uśmiech ośmiotygodniowego dziecka trwa średnio 11,5 sekundy.

Odchylenie standardowe σ oblicza się ze wzoru:

Odchylenie standardowe w tym przykładzie wynosi 6,64 sekundy.

Ten tekst jest adaptacją Openstax, Introductory Statistics, Section 5.2 The Uniform Distribution

Rozkład jednorodny to ciągły rozkład prawdopodobieństwa związany ze zdarzeniami, które są równie prawdopodobne do wystąpienia.

Jego gęstość prawdopodobieństwa jest wyrażona przez funkcję prostokątną, gdzie "a" i "b" są odpowiednio dolnymi i górnymi granicami.

Na przykład napięcie dostarczane przez przedsiębiorstwo energetyczne jest równomiernie rozłożone, powiedzmy, między 122 a 126 woltów.

W tym przypadku gęstość prawdopodobieństwa jest wykreślana jako funkcja dostarczonego napięcia.

Całkowity obszar pod wykresem powinien zawsze wynosić jeden. Ponieważ zakres wynosi 4 wolty, wysokość musi być podzielona przez 4.

Można się zastanawiać, jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdym gospodarstwie domowym napięcie będzie mniejsze niż 123 wolty?

Można go znaleźć w obszarze pod segmentem, który jest iloczynem szerokości i wysokości przekroju.

To średnie dostarczane napięcie jest sumą wartości odcięcia podzielonych przez dwa, co w tym przypadku wynosi 124 wolty.

Odchylenie standardowe jest określone przez zakres podzielony przez pierwiastek kwadratowy z dwunastu, który wynosi 1,2 wolta.