6.14: Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne, w skrócie clt, jest jedną z najpotężniejszych i najbardziej użytecznych idei we wszystkich statystykach. Centralne twierdzenie graniczne dla średnich próbek mówi, że jeśli wielokrotnie narysujesz próbki o danym rozmiarze i obliczysz ich średnie, a następnie utworzysz histogram tych średnich, to wynikowy histogram będzie miał tendencję do posiadania przybliżonego normalnego kształtu dzwonu. Innymi słowy, wraz ze wzrostem liczebności próby, rozkład średnich jest bardziej zbliżony do rozkładu normalnego.

Wielkość próby, n, która musi być “wystarczająco duża”, zależy od pierwotnej populacji, z której pobierane są próbki (wielkość próby powinna wynosić co najmniej 30 lub dane powinny pochodzić z rozkładu normalnego). Jeśli pierwotna populacja jest daleka od normalnej, potrzeba więcej obserwacji, aby średnie z próby lub sumy były normalne. Pobieranie próbek odbywa się z wymianą.

Trudno byłoby przecenić znaczenie centralnego twierdzenia granicznego w teorii statystycznej. Wiedza o tym, że dane, nawet jeśli ich rozkład nie jest normalny, zachowują się w przewidywalny sposób, jest potężnym narzędziem.

Rozkład normalny ma taką samą średnią jak rozkład pierwotny i wariancję, która jest równa pierwotnej wariancji podzielonej przez wielkość próby. Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy wariancji, więc odchylenie standardowe rozkładu próbkowania to odchylenie standardowe rozkładu pierwotnego podzielone przez pierwiastek kwadratowy z n. Zmienna n to liczba wartości, które są uśredniane razem, a nie liczba powtórzeń eksperymentu.

Ten tekst jest adaptacją <a href=”https://openstax.org/books/introductory-statistics/pages/7-introduction?query=central%20limit%20theorem&target=%7B%22index%22%3A0%2C%22type%22%3A%22search%22%7D#fs-idm16905488″>Openstax, Introductory Statistics, Section 7.0 Central Limit theorem.

Ten tekst został zaadaptowany z Openstax, Introductory Statistics, Section 7.1 Central Limit theorem for Sample Means (Averages).