6.14: Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne, w skrócie clt, jest jedną z najpotężniejszych i najbardziej przydatnych idei we wszystkich statystykach. Centralne twierdzenie graniczne dla średnich próbek mówi, że jeśli wielokrotnie losujesz próbki o danym rozmiarze, obliczasz ich średnie, a następnie tworzysz histogram tych średnich, wówczas powstały histogram będzie miał w przybliżeniu normalny kształt dzwonu. Innymi słowy, w miarę zwiększania się liczebności próby rozkład średnich coraz bardziej odpowiada rozkładowi normalnemu.

Wielkość próby n, która musi być „wystarczająco duża”, zależy od pierwotnej populacji, z której pobierane są próbki (próba powinna wynosić co najmniej 30 osób lub dane powinny pochodzić z rozkładu normalnego). Jeśli pierwotna populacja jest daleka od normalnej, potrzeba więcej obserwacji, aby średnie lub sumy próbki były normalne. Pobieranie próbek odbywa się z wymianą.

Trudno przecenić znaczenie centralnego twierdzenia granicznego w teorii statystyki. Świadomość, że dane, nawet jeśli ich rozkład nie jest normalny, zachowują się w przewidywalny sposób, jest potężnym narzędziem.

Rozkład normalny ma taką samą średnią jak rozkład pierwotny i wariancję równą pierwotnej wariancji podzielonej przez wielkość próby. Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy wariancji, zatem odchylenie standardowe rozkładu próbkowania to odchylenie standardowe pierwotnego rozkładu podzielone przez pierwiastek kwadratowy z n. Zmienna n to liczba uśrednionych wartości, a nie liczba powtórzeń eksperymentu.

Ten tekst jest adaptacją Openstax, Introductory Statistics, Section 7.0 Central Limit theorem.

Ten tekst jest adaptacją Openstax, Introductory Statistics, Section 7.1 Central Limit theorem for Sample Means (Averages).

Rozważmy wykresy kropkowe dla populacji o rozkładzie normalnym i jednorodnym.

Rozkład średnich próbek dla różnych wielkości prób pokazuje, że zbliża się do rozkładu normalnego wraz ze wzrostem wielkości próby - jest to podstawowa zasada centralnego twierdzenia granicznego.

Chociaż średnia z próby jest taka sama jak średnia populacji, jej odchylenie standardowe jest mniejsze niż odchylenie standardowe populacji.

Zasada ta nie ma jednak zastosowania do populacji, które nie są normalne i których wielkość próby jest mniejsza lub równa 30.

Wiedząc, że średnie próbki mają rozkład normalny, można przeprowadzić lepszą analizę statystyczną przy użyciu właściwości rozkładu normalnego.

Na przykład reguła empiryczna, która ma zastosowanie do rozkładu normalnego, pomaga określić prawdopodobieństwo, że grupa osób ma średnie wagi w zakresie jednego, dwóch lub trzech odchyleń standardowych od średniej z próby.

Wartości te można również ustandaryzować w wyniku z. Można więc określić prawdopodobieństwo grupy losowo wybranych osób o średniej wadze poniżej 80 kg.