7.11: Przedział ufności do szacowania średniej populacji

Oszacowanie punktowe średniej populacji uzyskuje się z pojedynczej próby. Takie oszacowanie punktowe nie odzwierciedla dobrze populacji, ponieważ musi uwzględniać zmienność populacji. Oszacowanie jednopunktowe może być również obarczone błędem systematycznym, mimo że próba jest wybierana losowo. W związku z tym oszacowanie punktowe jest często niewiarygodne. Aby zmniejszyć tę zawodność, potrzebny jest przedział ufności.

Przedział ufności dla średniej to zakres wartości, który zapewnia oszacowanie średniej populacji. Ponieważ średnia populacji jest wartością nieznaną, ale ustaloną, nie można jej dokładnie określić na podstawie dowolnej liczby próbek ani żadnej metody pobierania próbek, ale można ją oszacować. Przedział ufności średniej zapewnia zakres wartości, w którym można znaleźć rzeczywistą wartość średniej populacji.

Obliczenie przedziału ufności wymaga marginesu błędu i wcześniejszej wiedzy na temat odchylenia standardowego populacji (lub wariancji). Gdy znane jest odchylenie standardowe (wariancja) populacji, margines błędu oblicza się przy użyciu rozkładu z, gdy zakłada się normalność próbek. W takim przypadku wielkość próby musi być większa niż 30. W przypadku, gdy odchylenie standardowe (wariancja) populacji jest nieznane, margines błędu oblicza się przy użyciu rozkładu t. Chociaż rozkład t jest rozkładem nienormalnym, symetrycznym, oszacowanie wymaga pobrania próbek z populacji o rozkładzie normalnym lub wielkość próby powinna być większa niż 30. Przedział ufności obliczony przy użyciu rozkładu t zależy od stopni swobody (lub od wielkości próby). Są one szersze niż te obliczone przy użyciu rozkładu z dla danego poziomu ufności i wielkości próby.

Przedział ufności w obu przypadkach (tj. SD populacji znany lub nieznany) jest szacowany na z góry ustalonym poziomie ufności, tj. 90%. 95% lub 99%.

Gdy obliczany jest przedział ufności na poziomie 95%, jesteśmy w 95% pewni, że rzeczywista wartość średniej populacji będzie mieścić się między dolną a górną wartością granic ufności. Innymi słowy, może to również oznaczać, że jeśli weźmiemy kilka prób i obliczymy kilka przedziałów ufności, 95% z nich będzie zawierało średnią populacyjną. Ponieważ średnia populacji jest pojedynczą stałą wartością, nie można twierdzić, że istnieje 95% szansa na znalezienie prawdziwej wartości parametru populacji w przedziale ufności. Błędne jest również stwierdzenie, że 95% średnich z próby mieści się w obliczonym zakresie granic ufności.