8.1: Rozkłady w celu oszacowania parametru populacji

Dokładne wartości parametrów populacji, takich jak proporcja populacji, średnia populacji i odchylenie standardowe populacji (lub wariancja) populacji, są zwykle nieznane. Są to stałe wartości, które można oszacować tylko na podstawie danych zebranych z próbek. Oszacowania każdego z tych parametrów to proporcja próby, średnia z próby i odchylenie standardowe (lub wariancja) próby. Aby uzyskać wartości tych statystyk próby, wymagane są dane o określonym rozkładzie i tendencji centralnej. Te rozkłady prób są niezbędne i muszą zostać przekształcone w pewne określone rozkłady prawdopodobieństwa wymagane do oszacowania parametrów populacji.

Gdy spełnione są warunki, takie jak duża liczebność próby (zwykle ponad 30), losowe i bezstronne pobieranie próbek oraz rozkład normalny populacji i rozkład normalny próbek, oszacowanie parametrów populacji staje się proste. Nie można jednak przyjąć takich warunków dla danych próbek ani nie można ich osiągnąć za każdym razem ani w każdym badaniu. W takich przypadkach estymacja wymaga innych rozkładów.

Aby oszacować proporcję populacji na podstawie proporcji próby, stosuje się rozkład z i tabelę z. W tym przypadku próbki nie muszą być zgodne ze standardowym rozkładem normalnym, ale powinny być przynajmniej w przybliżeniu rozłożone symetrycznie i normalnie. Wyniki z obliczone na podstawie danych z próby można następnie wykorzystać do oszacowania punktu proporcji populacji i można skonstruować przedziały ufności.

Rozkład z może być również używany do oszacowania średniej populacji, ale wymaga wcześniejszej wiedzy na temat odchylenia standardowego populacji (lub wariancji). Rozkład z można następnie wykorzystać do uzyskania oszacowania punktowego średniej populacji, a przedziały ufności na żądanym poziomie ufności można skonstruować w celu uzyskania wiarygodnych oszacowań średniej populacji.

W najbardziej realistycznych sytuacjach odchylenie standardowe populacji (w celu oszacowania średniej populacji) może nie być znane a priori dla danego badania. W takich przypadkach oszacowanie parametru populacji, takiego jak średnia populacji, opiera się na rozkładzie Studenta t. Rozkład t jest rozkładem symetrycznym, na przykład rozkładem normalnym, ale jest to przybliżenie standardowego rozkładu normalnego. Jego kształt (płytkość lub stromość) zmienia się w zależności od stopni swobody (lub wielkości próby). Rozkład t uczniów może być korzystny, gdy wielkość próby jest mniejsza niż 30.

Oszacowanie odchylenia standardowego populacji (lub wariancji) wymaga rozkładu chi-kwadrat, który nie jest symetryczny. Pochylenie rozkładu chi-kwadrat zmienia się zgodnie ze stopniami swobody (lub wielkością próby). Zbliża się do rozkładu normalnego przy wielkości próby powyżej 90. Rozkład chi-kwadrat pomaga oszacować odchylenie standardowe populacji (lub wariancję) nawet przy mniejszych rozmiarach próby.