8.3: Rozkład studentów t

Odchylenie standardowe populacji jest rzadko znane w wielu codziennych przykładach statystycznych. Gdy wielkość próby jest duża, łatwo jest oszacować odchylenie standardowe populacji przy użyciu przedziału ufności, który zapewnia wyniki wystarczająco zbliżone do pierwotnej wartości. Jednak statystycy napotkali problemy, gdy wielkość próby była niewielka. Mała liczebność próby powodowała niedokładności w przedziale ufności.

Rozkład Studenta t został opracowany przez Williama S. Goseta (1876–1937) z browaru Guinness w Dublinie w Irlandii w celu oszacowania odchylenia standardowego populacji, gdy wielkość próby była mała. Nazwa tej dystrybucji pochodzi od pseudonimu “Student” używanego przez Gosset.

Rozkład Studenta t jest używany zawsze, gdy s jest używany do oszacowania σ. Jeśli prosta próba losowa o wielkości n zostanie wylosowana z przybliżonego rozkładu normalnego ze średnią μ i nieznanym odchyleniem standardowym populacji, σ i wyniki t, wyniki t są zgodne z rozkładem Studenta t z n – 1 stopniami swobody. Wynik t jest interpretowany podobnie do wyniku z. Mierzy, jak daleko wartość znajduje się od jej średniej μ. Dla każdej wielkości próby n istnieje inny rozkład t Studenta.

Wynik t lub statystyka jest podawana w następujący sposób:

Właściwości rozkładu Studenta t:

1. Wykres rozkładu Studenta t jest podobny do standardowej krzywej normalnej.
2. Średnia rozkładu Studenta t wynosi zero, a rozkład jest symetryczny względem zera.
3. Rozkład t Studenta ma większe prawdopodobieństwo w swoich ogonach niż standardowy rozkład normalny, ponieważ rozrzut rozkładu t jest większy niż rozkład standardowej normalnej. Tak więc krzywa rozkładu Studenta t jest grubsza w ogonach i krótsza w środku niż wykres standardowego rozkładu normalnego.
4. Dokładny kształt rozkładu Studenta t zależy od stopni swobody. Wraz ze wzrostem stopni swobody wykres rozkładu Studenta t staje się bardziej podobny do wykresu standardowego rozkładu normalnego.
5. Zakłada się, że populacja leżąca u podstaw poszczególnych obserwacji ma rozkład normalny z nieznaną średnią μ populacji i nieznanym odchyleniem standardowym populacji σ.

Ten tekst został zaadaptowany z Sekcja 8.2, Średnia z pojedynczej populacji przy użyciu rozkładu t studenta, Statystyki wprowadzające, Openstax,