25.9: Prawo Gaussa w dielektrykach

Rozważmy dielektryk polarny umieszczony w polu zewnętrznym. W takim dielektryku przeciwne ładunki na sąsiednich dipolach neutralizują się nawzajem, tak że wypadkowy ładunek w dielektryku wynosi zero. Po włożeniu dielektryka polarnego pomiędzy płytki kondensatora generowane jest pole elektryczne w wyniku obecności ładunków wypadkowych w pobliżu krawędzi styku dielektryka i metalowych płytek. Ponieważ zewnętrzne pole elektryczne jedynie wyrównuje dipole, dielektryk jako całość jest neutralny. Na powierzchni dielektryka indukują się jednakowe ładunki związane o przeciwnej polaryzacji. Te indukowane ładunki wytwarzają dodatkowe pole elektryczne, które przeciwstawia się poprzedniemu polu zewnętrznemu.

Podobny efekt występuje, gdy cząsteczki dielektryka są niepolarne. Cząsteczka niepolarna uzyskuje indukowany moment dipolowy elektryczny, ponieważ pole zewnętrzne powoduje rozdzielenie jej ładunków dodatnich i ujemnych. Indukowane dipole cząsteczek niepolarnych ustawiają się w linii z zewnętrznym polem elektrycznym w taki sam sposób, jak trwałe dipole cząsteczek polarnych. W związku z tym pole elektryczne w dielektryku słabnie, niezależnie od tego, czy jego cząsteczki są polarne czy niepolarne.

Kondensator wypełniony dielektrykiem składa się z pola elektrycznego powstałego w wyniku swobodnych ładunków na płytkach kondensatora oraz pola elektrycznego wywołanego ładunkami indukowanymi na powierzchniach dielektryka. Ich suma wektorów daje wypadkowe pole elektryczne w dielektryku pomiędzy płytkami kondensatora. To pole wypadkowe jest wytwarzane przez ładunek efektywny równy różnicy między ładunkami swobodnymi netto i ładunkami powierzchniowymi. Ponieważ działanie dielektryka polega na osłabieniu pierwotnego pola o współczynnik stałej dielektrycznej, człon pola elektrycznego w prawie Gaussa zostaje zastąpiony iloczynem pola elektrycznego i stałej dielektrycznej, co daje zmodyfikowane prawo Gaussa w dielektrykach. 

Rozważmy naładowany kondensator równoległy oddzielony próżnią. Teraz, stosując prawo Gaussa do powierzchni Gaussa, strumień elektryczny jest proporcjonalny do ładunku zamkniętego w powierzchni.

Gdy próżnia jest zastępowana dielektrykiem, na powierzchni płytek kondensatora powstają wolne ładunki, a na powierzchni dielektryka indukowane są związane ładunki, zmniejszając pole elektryczne netto.

Tak więc wielkość strumienia elektrycznego przepływającego przez powierzchnię Gaussa wewnątrz tego kondensatora z dielektrykiem jest proporcjonalna do ładunku netto wewnątrz powierzchni.

Polaryzacja dielektryka powoduje spadek pola elektrycznego o współczynnik stałej dielektrycznej; tak więc ładunek wypadkowy jest równy stosunkowi ładunku swobodnego do stałej dielektrycznej.

Ten ładunek netto, po podstawieniu do prawa Gaussa, daje prawo Gaussa w dielektrykach, gdzie pole elektryczne jest zastępowane iloczynem stałej dielektrycznej i pola elektrycznego.

Iloczyn przenikalności próżni, stałej dielektrycznej i pola elektrycznego nazywany jest przemieszczeniem elektrycznym. Tak więc prawo Gaussa można przepisać w kategoriach przemieszczenia elektrycznego.