7.10: Szacowanie średniej populacji z nieznanym odchyleniem standardowym

W praktyce rzadko znamy odchylenie standardowe populacji. W przeszłości, gdy wielkość próby była duża, nie stanowiło to problemu dla statystyków. Wykorzystali odchylenie standardowe próby jako oszacowanie dla σ i postępowali jak poprzednio, aby obliczyć przedział ufności z wystarczająco zbliżonymi wynikami. Jednak statystycy napotkali problemy, gdy wielkość próby była niewielka. Mała liczebność próby powodowała niedokładności w przedziale ufności.

William S. Gosset (1876–1937) z browaru Guinness w Dublinie w Irlandii natknął się na ten problem. Jego eksperymenty z chmielem i jęczmieniem przyniosły bardzo niewiele próbek. Samo zastąpienie σ przez s nie dawało dokładnych wyników, gdy próbował obliczyć przedział ufności. Zdał sobie sprawę, że nie może użyć rozkładu normalnego do obliczeń; Stwierdził on, że rzeczywisty rozkład zależy od wielkości próby. Ten problem doprowadził go do “odkrycia” tego, co nazywa się rozkładem t Studenta. Nazwa wzięła się stąd, że Gosset pisał pod pseudonimem “Student”.

Do połowy lat siedemdziesiątych XX wieku niektórzy statystycy używali przybliżenia rozkładu normalnego dla dużych prób i używali rozkładu t Studenta tylko dla prób o wielkości co najwyżej 30. W przypadku kalkulatorów graficznych i komputerów praktyką jest obecnie używanie rozkładu t Studenta za każdym razem, gdy s jest używane jako oszacowanie dla σ.

Jeśli narysujesz prostą losową próbę o wielkości n z populacji, która ma w przybliżeniu rozkład normalny ze średnią μ i nieznanym odchyleniem standardowym populacji, σ i oblicz wynik t za pomocą próbki SD.

Właściwości rozkładu t Studenta

• Wykres rozkładu t Studenta jest podobny do standardowej krzywej normalnej.
• Średnia rozkładu t Studenta wynosi zero, a rozkład jest symetryczny względem zera.
• Rozkład t Studenta ma większe prawdopodobieństwo w swoich ogonach niż standardowy rozkład normalny, ponieważ rozrzut rozkładu t jest większy niż rozrzut standardowej normalnej. Tak więc wykres rozkładu t Studenta będzie grubszy w ogonach i krótszy w środku niż wykres standardowego rozkładu normalnego.
• Dokładny kształt rozkładu t Studenta zależy od stopni swobody. Wraz ze wzrostem stopni swobody wykres rozkładu t Studenta staje się bardziej podobny do wykresu standardowego rozkładu normalnego.
• Zakłada się, że populacja leżąca u podstaw poszczególnych obserwacji ma rozkład normalny z nieznaną średnią μ populacji i nieznanym odchyleniem standardowym populacji σ. Wielkość populacji bazowej na ogół nie ma znaczenia, chyba że jest ona bardzo mała. Jeśli ma kształt dzwonu (normalny), to założenie jest spełnione i nie wymaga dyskusji. Zakłada się losowe pobieranie próbek, ale jest to założenie całkowicie odrębne od normalności.

Kalkulatory i komputery mogą z łatwością obliczyć dowolne prawdopodobieństwo t Studenta. Można również użyć tabeli prawdopodobieństwa dla rozkładu t Studenta. Tabela podaje wyniki t, które odpowiadają poziomowi ufności (kolumna) i stopniom swobody (wiersz). W przypadku korzystania z tabeli t należy pamiętać, że niektóre tabele są sformatowane tak, aby pokazywały poziom ufności w nagłówkach kolumn, podczas gdy nagłówki kolumn w niektórych tabelach mogą pokazywać tylko odpowiadający im obszar w jednym lub obu końcach.

Tabela t Studenta daje wyniki t przy danych stopniach swobody i prawdopodobieństwie prawostronnym. Stół jest bardzo ograniczony. Kalkulatory i komputery mogą z łatwością obliczyć prawdopodobieństwo t dowolnego studenta.

Notacja rozkładu t Studenta (przy użyciu T jako zmiennej losowej) jest następująca:

• T ~ tdf, gdzie df = n – 1.
• Na przykład, jeśli mamy próbkę o wielkości n = 20 elementów, to obliczamy stopnie swobody jako df = n – 1 = 20 – 1 = 19 i zapisujemy rozkład jako T ~ t19.

Jeżeli odchylenie standardowe populacji nie jest znane, błąd graniczny dla średniej populacji oblicza się przy użyciu próbki SD.

Ten tekst został zaadaptowany z Openstax, Introductory Statistics, Section 8.2 Pojedyncza średnia populacji przy użyciu < Studenta>a href=”https://openstax.org/books/introductory-statistics/pages/8-2-a-single-population-mean-using-the-student-t-distribution”t rozkład