Równanie Poissona i Laplace'a

W notacji wektorowej pole elektryczne jest wyrażone jako ujemny gradient potencjału elektrycznego. W tym przypadku gradient potencjału zawsze wskazuje na najbardziej stromy spadek potencjału, a jego rozwiązanie daje wektor – pole elektryczne.

Zgodnie z różnicową formą prawa Gaussa, gradient pola elektrycznego jest równy stosunkowi gęstości ładunku objętościowego do przenikalności swobodnej przestrzeni.

Podstawienie gradientu potencjału w prawie Gaussa daje wyrażenie dla równania Poissona. W tym przypadku rozbieżność gradientu potencjału skalarnego jest operatorem Laplace'a, co daje funkcję skalarną.

Laplace'a jest analogiczne do różniczkowania wielkości skalarnych drugiego rzędu. Dla potencjału elektrycznego jest on niższy, gdy znajduje się w pobliżu lokalnych minimów, a wyższy, gdy zbliża się do lokalnych maksimów.

Gdy zamknięty ładunek objętościowy wynosi zero, równanie Poissona redukuje się do równania Laplace'a.

Równanie Laplace'a ma unikalne rozwiązanie w danej objętości, jeśli określony jest potencjał na granicy powierzchni, określony przez pierwsze twierdzenie o unikalności.