15.5
Częstotliwość układu sprężynowo-masowego
Jedną z interesujących cech prostego ruchu harmonicznego (SHM) obiektu przymocowanego do sprężyny jest to, że częstotliwość kątowa oraz okres i często…
Rozważmy blok o masie m połączony ze sprężyną poziomą, umieszczony na powierzchni pozbawionej tarcia.
Siła wypadkowa działająca na blok jest sumą siły wynikającej z jego ciężaru, siły normalnej i siły działającej na sprężynę.
Ponieważ ciężar i siła normalna są równej wielkości i mają przeciwny kierunek, znoszą się nawzajem, a siła wypadkowa staje się równa sile powodowanej przez sprężynę.
Tutaj wielkość siły jest proporcjonalna do pierwszej potęgi przemieszczenia. Z tego powodu układ sprężyna-masa nazywany jest liniowym prostym oscylatorem harmonicznym.
Korzystając z drugiego prawa Newtona, siłę można wyrazić w postaci przyspieszenia.
Podstawiając wyrażenia dla przyspieszenia i przemieszczenia, otrzymuje się równanie częstotliwości kątowej.
Częstotliwość kątowa jest również definiowana jako 2π w okresie oscylacji.
Odwrotnością okresu jest również częstotliwość oscylacji.
Sztywna sprężyna powoduje szybkie oscylacje i krótki okres. Dla porównania, ciężki obiekt ma tendencję do wytwarzania powolnych oscylacji i długiego okresu.
View the full transcript and gain access to JoVE Core videos
Q1: Why is a spring-mass system called a linear simple harmonic oscillator?
A spring-mass system is called a linear simple harmonic oscillator because the spring force is proportional to the first power of displacement, following Hooke's law. On a frictionless surface, weight and normal force cancel, leaving only the spring force as the net force. This linear relationship between force and displacement defines the system's oscillatory behavior.
Q2: What factors determine the angular frequency of a spring-mass system?
Angular frequency depends only on the mass and the spring's force constant, not on amplitude or initial conditions. Using Newton's second law with expressions for acceleration and displacement yields the angular frequency equation. A stiffer spring increases angular frequency, while greater mass decreases it, producing faster or slower oscillations respectively.
Q3: How does spring stiffness affect the period of oscillation?
A stiffer spring produces a shorter period and rapid oscillations, while a more flexible spring produces a longer period. The period depends only on mass and spring force constant. Mathematically, period is inversely related to angular frequency, so increased stiffness reduces the time for one complete oscillation.
Q4: What is the relationship between period and frequency in spring-mass oscillations?
Frequency is the inverse of the period of oscillation. If a spring-mass system completes one full oscillation in time T, its frequency is 1/T. Angular frequency relates to period through the equation ω = 2π/T, connecting these fundamental oscillation parameters.
Q5: How does mass affect the oscillation behavior of a spring-mass system?
A heavier mass produces sluggish oscillations with a longer period, while a lighter mass produces rapid oscillations with a shorter period. Since period is proportional to the square root of mass, doubling the mass increases the period by a factor of √2, slowing the system's oscillatory motion.
Q6: Why do weight and normal force not affect the spring-mass system's oscillation?
On a frictionless horizontal surface, weight and normal force are equal in magnitude and opposite in direction, so they cancel completely. The net force becomes equal only to the spring force, which acts parallel to the surface. This cancellation simplifies the system to depend solely on spring force and mass.
Q7: How can you derive the angular frequency equation for a spring-mass system?
Start with Newton's second law, F = ma, and substitute Hooke's law (F = -kx) for spring force and the acceleration expression from kinematics. Solving the resulting differential equation yields the angular frequency ω = √(k/m), where k is the force constant and m is mass.