Transformacja wektorowa w obrotowych układach współrzędnych

Rozważmy wektor obracający się wokół osi z prędkością kątową taką, że jego końcówka omiata tor kołowy.

Pochodna czasowa tego wektora jest równa jego zmianie położenia w nieskończenie małym przedziale czasu. Wyrażenie to jest przepisywane pod względem iloczynu krzyżowego prędkości kątowej i wektora.

Rozważmy dowolny wektor i jego pochodną czasową w układzie inercyjnym. Obserwując z obracającej się ramki, zmieniają się składowe skalarne i wektory jednostkowe.

Pochodna czasowa wektora w układzie obrotowym daje dwa wyrazy. Pierwszy wyraz to pochodna czasowa wektora mierzonego w obracającym się układzie.

Gdy wektory jednostkowe się obracają, ich wyrażenie szybkości zmian jest używane do uproszczenia drugiego składnika.

Zatem pochodna czasowa wektora w układzie inercyjnym jest równa jego pochodnej czasowej w układzie wirującym plus iloczyn krzyżowy prędkości kątowej i wektora.

Równanie transformacji dla wektora położenia daje prędkość, podczas gdy równanie dla wektora prędkości daje przyspieszenie w układzie wirującym.