Arytmetyka fazorów

Fazory i odpowiadające im sinusoidy są ze sobą powiązane, co zapewnia unikalny wgląd w zachowanie obwodów prądu przemiennego (AC). Jednym ze sposobów zrozumienia tej zależności są operacje różniczkowania i całkowania zarówno w dziedzinie czasu, jak i wskazów.

Gdy pochodną sinusoidy przyjmuje się w dziedzinie czasu, przekształca się ona w odpowiadający jej wskaźnik pomnożony przez j-omega (jω) w dziedzinie fazorów, gdzie j jest jednostką urojoną, a ω jest częstotliwością kątową. I odwrotnie, gdy sinusoida jest całkowana w dziedzinie czasu, przekłada się to na odpowiadający jej fazor podzielony przez j-omega w dziedzinie wskazów. Transformacje te umożliwiają znalezienie rozwiązań w stanie ustalonym dla sinusoidy bez znajomości początkowych wartości zmiennych.

Następnie rozważmy dwa fazory, każdy przedstawiony w postaci prostokątnej i biegunowej. Aby dodać lub odjąć te dwa fazory, stosuje się ich formy prostokątne (które wyrażają fazor jako liczbę zespoloną z częściami rzeczywistymi i urojonymi). Część rzeczywista wynikowego fazoru to suma (w przypadku dodawania) lub różnica (w przypadku odejmowania) części rzeczywistych dwóch pierwotnych fazorów, a jego część urojona to suma lub różnica części urojonych poszczególnych fazorów.

Podczas mnożenia lub dzielenia dowolnych dwóch fazorów używa się ich postaci biegunowych (wyrażając fazor jako wielkość i kąt). Wielkość wynikowego fazora jest iloczynem (w przypadku mnożenia) lub ilorazem (w przypadku dzielenia) wielkości dwóch pierwotnych fazorów, a kąt wynikowego fazora jest sumą lub różnicą kątów poszczególnych fazorów.

Na koniec, sprzężenie zespolone fazora – które uzyskuje się poprzez zmianę znaku jego części urojonej – może być wyrażone zarówno w formach prostokątnych, jak i biegunowych. Operacja ta jest kluczowa w wielu zastosowaniach, w tym w obliczaniu mocy w obwodach prądu zmiennego.

Podsumowując, fazory stanowią potężne narzędzie matematyczne w badaniu obwodów prądu zmiennego, upraszczając analizę i rozwiązywanie problemów, które byłyby znacznie bardziej złożone w dziedzinie czasu.