Twierdzenie Parsevala

Twierdzenie Parsevala jest fundamentalną koncepcją w przetwarzaniu sygnałów i analizie harmonicznej. Dla funkcji okresowej średnia moc sygnału w jednym okresie jest równa sumie kwadratów wielkości wszystkich jej zespolonych współczynników Fouriera. Twierdzenie to, nazwane na cześć Marca-Antoine'a Parsevala, stanowi potężne narzędzie do analizy rozkładu energii w sygnałach.

Co ciekawe, twierdzenie Parsevala obowiązuje również dla trygonometrycznej formy szeregu Fouriera, która wyraża funkcję za pomocą funkcji sinus i cosinus. Tutaj współczynniki Fouriera można powiązać ze współczynnikami szeregu trygonometrycznego, co pozwala na zastosowanie twierdzenia w tej alternatywnej formie.

Aby potwierdzić twierdzenie Parsevala, zaczynamy od rozważenia funkcji x(t) z reprezentacją w postaci zespolonego szeregu Fouriera:

Gdzie cn to zespolone współczynniki Fouriera, a ω_0 to podstawowa częstość kątowa. Twierdzenie stwierdza:

Gdzie T to okres funkcji. Podstawienie szeregu Fouriera do lewej strony i rozwiązanie potwierdza równość, udowadniając w ten sposób twierdzenie.

Twierdzenie Parsevala jest kluczowe w praktycznych zastosowaniach, szczególnie w przetwarzaniu dźwięku. Umożliwia porównanie energii zawartej w oryginalnej fali dźwiękowej z energią zawartą w jej skompresowanej wersji. Porównanie to jest niezbędne, aby zapewnić, że proces kompresji nie pogorszy znacząco jakości sygnału audio poprzez utratę zbyt dużej ilości energii.

Z perspektywy inżynierskiej twierdzenie Parsevala pozwala na cenne spostrzeżenia. Na przykład, jeśli funkcja w kwestii reprezentuje sygnał elektryczny, taki jak prąd lub napięcie, to kwadrat tej funkcji reprezentuje chwilową moc rozproszoną w rezystorze 1-omowym. W konsekwencji twierdzenie łączy energię rozproszoną w rezystorze w ciągu jednego okresu z reprezentacją sygnału w postaci szeregu Fouriera. Ta relacja jest wyrażona w dwóch różnych formach: jednej przy użyciu trygonometrycznego szeregu Fouriera, a drugiej przy użyciu postaci amplitudy i fazy szeregu Fouriera. Tak więc twierdzenie Parsevala nie tylko służy jako narzędzie analityczne, ale także łączy koncepcje teoretyczne z praktycznymi zastosowaniami inżynierskimi.