Funkcja strumienia

W dwuwymiarowym przepływie cieczy nieściśliwej równanie ciągłości jest niezbędne do zapewnienia zachowania masy, co oznacza, że każda zmiana cieczy wchodzącej lub wychodzącej z obszaru jest równoważona przez odpowiadającą jej zmianę w innym miejscu. W przypadku przepływu nieściśliwego, w którym gęstość pozostaje stała, wymóg ten upraszcza się do warunku, że rozbieżność pola prędkości musi wynosić zero. Matematycznie jest to wyrażone jako:

gdzie u i v reprezentują odpowiednio poziome i pionowe składowe prędkości.

Aby naturalnie spełnić to równanie, wprowadzamy funkcję strumienia ψ, która pozwala zdefiniować składowe prędkości w kategoriach ψ jako:

Te definicje automatycznie spełniają równanie ciągłości, ponieważ mieszane pochodne cząstkowe ψ się znoszą.

Funkcja strumienia ψ jest stała wzdłuż linii prądu, które są ścieżkami, po których poruszają się cząstki cieczy w przepływie. Linie prądu można zatem wizualizować jako linie konturowe ψ, co zapewnia wyraźną reprezentację ruchu płynu. Każda linia prądu jest styczna do wektora prędkości w dowolnym punkcie na swojej ścieżce, ilustrując kierunek przepływu bez potrzeby obliczania prędkości w każdym punkcie z osobna.

Co więcej, różnica wartości ψ między dwiema liniami prądu reprezentuje objętościową szybkość przepływu na jednostkę głębokości między nimi, umożliwiając bezpośrednie obliczenie szybkości przepływu. Ta właściwość znacznie upraszcza analizę dwuwymiarowych przepływów nieściśliwych, eliminując konieczność rozwiązywania oddzielnych równań dla u i v. W rezultacie funkcja strumienia ψ stanowi potężne narzędzie do modelowania i interpretowania zachowania płynu w zastosowaniach obejmujących nieściśliwy, ustalony przepływ.