Reguła ilorazu

Zbiornik na wodę napełnia się i opróżnia jednocześnie, powodując zmiany poziomu wody z powodu nierównych prędkości napływu i odpływu. Celem jest ustalenie, ile czasu zajmuje opróżnienie zbiornika. Wyraża się to jako stosunek objętości wody do szybkości odpływu, który zmienia się w czasie, ponieważ oba są różniczkowalnymi funkcjami czasowymi.

W miarę jak woda wchodzi do zbiornika, całkowita objętość nieznacznie wzrasta, a tempo odpływu również się zmienia w wyniku regulacji systemu. Te drobne zmiany wpływają na ogólny iloraz objętości do drenażu.

Aby znaleźć tempo zmiany ilorazu, rozważ zmianę ilorazu w krótkim przedziale czasowym, a następnie podziel tę zmianę przez ten przedział.

Wprowadzając granicę, gdy przedział czasu zbliża się do zera, delta R również zbliża się do zera, ponieważ R zmienia się ciągle w czasie, co upraszcza mianownik. Korzystając z definicji pochodnych, wyprowadza się regułę ilorazu.

Jest równa się szybkości drenażu razy pochodnej objętości, pomniejszonej o objętość razy pochodnej tempa odpływu, wszystko podzielone przez kwadrat przepływu wody.

To ostatnie wyrażenie pokazuje, jak stosunek objętości wody do szybkości odpływu zmienia się w czasie. Ogólnie rzecz biorąc, to wyrażenie odnosi się również do tego, jak stosunek dwóch dowolnych funkcji zmienia się w czasie.