$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
Linearyzacja to technika matematyczna służąca do przybliżania złożonych funkcji nieliniowych za pomocą prostszych modeli liniowych w pobliżu wybranego punktu odniesienia. Metoda ta opiera się na założeniu, że chociaż funkcja może być trudna do dokładnego obliczenia, jej zachowanie w pobliżu określonej wartości wejściowej często można dokładnie przybliżyć za pomocą stycznej w tym punkcie. To podejście jest szczególnie przydatne w przypadku niewielkich odchyleń od znanej wartości.
Rozważmy funkcję pierwiastka kwadratowego, dla której wartość dla wejścia równego czterem jest dokładnie znana. Ta wartość wejściowa służy jako wygodny punkt odniesienia, ponieważ zarówno wartość funkcji, jak i jej tempo zmian są w tym punkcie łatwo mierzalne. Jednak obliczenie wartości funkcji dla pobliskiego wejścia, takiego jak 4,1, nie jest proste bez narzędzi obliczeniowych. Linearyzacja rozwiązuje ten problem, zastępując oryginalną funkcję jej styczną w pobliżu punktu odniesienia.
Przybliżenie za pomocą stycznej konstruuje się przy użyciu trzech składowych: wartości funkcji dla wejścia referencyjnego, pochodnej funkcji dla tego samego wejścia oraz niewielkiej zmiany wartości zmiennej wejściowej względem punktu odniesienia. Łącznie te elementy tworzą wzór linearyzacji:
\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}
który zapewnia przybliżenie wartości funkcji w pobliżu wejścia referencyjnego. Podstawiając pobliskie wejście do tego wyrażenia, uzyskuje się przybliżoną wartość bez bezpośredniego obliczania pierwotnej funkcji nieliniowej.
W przykładzie z pierwiastkiem kwadratowym najpierw oblicza się wartość funkcji i pochodną dla wejścia referencyjnego, a następnie różnicę między nowym wejściem a wejściem referencyjnym. Połączenie tych wielkości daje przybliżoną wartość bardzo bliską rzeczywistemu pierwiastkowi kwadratowemu z 4,1. Niewielka rozbieżność pokazuje zarówno skuteczność, jak i ograniczenia linearyzacji. Ten przykład pokazuje, jak linearyzacja zapewnia dokładne i efektywne przybliżenia, gdy funkcje są trudne do dokładnego obliczenia, pod warunkiem że wejście pozostaje blisko wybranego punktu odniesienia.
