Test drugiej pochodnej: rozwiązywanie zadań

Weźmy pod uwagę kubek, którego przekrój zmienia się wraz z wysokością — jest szerszy na dole i u góry, a węższy w środku.

Gdy kawa jest wlewana do tego kubka w stałej objętości, poziom kawy z czasem rośnie. Tempo tego wzrostu jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju na tej wysokości.

Wklęsłość krzywej zależy od znaku drugiej pochodnej wysokości względem czasu.

W dolnej połowie kubka przekrój poprzeczny zmienia się w sposób, który powoduje przyspieszenie wysokości. Ponieważ wysokość cieczy przyspiesza, druga pochodna jest dodatnia w tym obszarze, co skutkuje krzywą wklęsłą w górę.

Z kolei przekrój wzrasta w górnej połowie i wykazuje odwrotny efekt – wysokość się zatrzymuje, co oznacza, że druga pochodna jest ujemna i odpowiada wklęsłemu obszarowi w dół na wykresie.

Punkty zgięcia oznaczają miejsce, gdzie zmienia się wklęsłość.

W tym przykładzie punkt zwrotu znajduje się mniej więcej w środku kubka, gdzie powierzchnia przekroju poprzecznego jest minimalna. Tak więc przyspieszenie wysokości reprezentowane przez drugą pochodną spadło do zera po przejściu z wartości dodatniej do ujemnej.