3.8
Weźmy pod uwagę kubek, którego przekrój zmienia się wraz z wysokością — jest szerszy na dole i u góry, a węższy w środku.
Gdy kawa jest wlewana do tego kubka w stałej objętości, poziom kawy z czasem rośnie. Tempo tego wzrostu jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju na tej wysokości.
Wklęsłość krzywej zależy od znaku drugiej pochodnej wysokości względem czasu.
W dolnej połowie kubka przekrój poprzeczny zmienia się w sposób, który powoduje przyspieszenie wysokości. Ponieważ wysokość cieczy przyspiesza, druga pochodna jest dodatnia w tym obszarze, co skutkuje krzywą wklęsłą w górę.
Z kolei przekrój wzrasta w górnej połowie i wykazuje odwrotny efekt – wysokość się zatrzymuje, co oznacza, że druga pochodna jest ujemna i odpowiada wklęsłemu obszarowi w dół na wykresie.
Punkty zgięcia oznaczają miejsce, gdzie zmienia się wklęsłość.
W tym przykładzie punkt zwrotu znajduje się mniej więcej w środku kubka, gdzie powierzchnia przekroju poprzecznego jest minimalna. Tak więc przyspieszenie wysokości reprezentowane przez drugą pochodną spadło do zera po przejściu z wartości dodatniej do ujemnej.
W analizie matematycznej znalezienie najwyższych i najniższych punktów funkcji jest kluczowe dla zrozumienia jej zachowania. Punkty te, znane jako punkty krytyczne, występują tam, gdzie pierwsza pochodna jest równa zero lub nieokreślona. Punkty krytyczne to potencjalne lokalne maksima i minima, które można sklasyfikować za pomocą testu drugiej pochodnej. Jednak nie każdy punkt krytyczny odpowiada lokalnemu maksimum lub minimum. Analizuje się drugą pochodną w celu sklasyfikowania tych punktów. Test drugiej pochodnej dostarcza informacji o wklęsłości:
Jeśli f''(x) = 0, test jest nierozstrzygający i konieczne jest zastosowanie dalszych metod, takich jak test pierwszej pochodnej. Rozważ funkcję:
\begin{equation*}f(x) = x^3 -3x^2 + 4\end{equation*}
\begin{equation*}f'(x) = 3x^2 -6x\end{equation*}
Ustawiamy f'(x) = 0, aby znaleźć punkty krytyczne. Wyrażenie to daje x = 0 i x = 2 jako punkty krytyczne.
\begin{equation*}f''(x) = 6x -6\end{equation*}
Funkcja ma punkt przegięcia, w którym druga pochodna zmienia znak – ustawiając f''(x) = 0 i rozwiązując względem x, otrzymujemy x = 1. Ponieważ f''(x) zmienia znak dla x = 1, jest to punkt przegięcia. Niniejsza analiza pokazuje, jak test drugiej pochodnej pomaga zidentyfikować kluczowe cechy wykresu funkcji.
Weźmy pod uwagę kubek, którego przekrój zmienia się wraz z wysokością — jest szerszy na dole i u góry, a węższy w środku.
Gdy kawa jest wlewana do tego kubka w stałej objętości, poziom kawy z czasem rośnie. Tempo tego wzrostu jest odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju na tej wysokości.
Wklęsłość krzywej zależy od znaku drugiej pochodnej wysokości względem czasu.
W dolnej połowie kubka przekrój poprzeczny zmienia się w sposób, który powoduje przyspieszenie wysokości. Ponieważ wysokość cieczy przyspiesza, druga pochodna jest dodatnia w tym obszarze, co skutkuje krzywą wklęsłą w górę.
Z kolei przekrój wzrasta w górnej połowie i wykazuje odwrotny efekt – wysokość się zatrzymuje, co oznacza, że druga pochodna jest ujemna i odpowiada wklęsłemu obszarowi w dół na wykresie.
Punkty zgięcia oznaczają miejsce, gdzie zmienia się wklęsłość.
W tym przykładzie punkt zwrotu znajduje się mniej więcej w środku kubka, gdzie powierzchnia przekroju poprzecznego jest minimalna. Tak więc przyspieszenie wysokości reprezentowane przez drugą pochodną spadło do zera po przejściu z wartości dodatniej do ujemnej.
From Chapter 3:
Now Playing
Applications of Differentiation
332 Views
Applications of Differentiation
323 Views
Applications of Differentiation
306 Views
Applications of Differentiation
290 Views
Applications of Differentiation
275 Views
Applications of Differentiation
344 Views
Applications of Differentiation
287 Views
Applications of Differentiation
433 Views
Applications of Differentiation
366 Views
Applications of Differentiation
345 Views
Applications of Differentiation
201 Views
Applications of Differentiation
396 Views
Applications of Differentiation
340 Views
Applications of Differentiation
296 Views
Applications of Differentiation
418 Views
See More