3.3
Twierdzenie Rolle'a mówi, że jeśli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym, różniczkowalna na przedziale otwartym i równa w obu końcach, to pochodna jest równa zerowi w pewnym punkcie między tymi końcami.
Rozważmy drogę, po której pojazd wspina się, osiąga szczyt, a następnie schodzi.
Ponieważ zaczyna się i kończy na tej samej wysokości, musi istnieć punkt, w którym wznoszenie zmienia się w zejście. W tym momencie nachylenie staje się zero, spełniając twierdzenie Rolle'a.
Funkcja na domkniętym przedziale może przyjmować różne kształty, z których wszystkie mogą spełniać twierdzenie Rolle'a, jeśli warunki są spełnione.
Niektóre funkcje mogą mieć więcej niż jeden punkt, w którym pochodna jest równa zeru, na przykład gdy w przedziale występują zarówno lokalne maksima, jak i minima.
Z kolei wysokość pociągu na płaskim torze jest graficznie przedstawiona jako linia pozioma. Tutaj każdy punkt na torze spełnia twierdzenie Rolle'a, ponieważ pochodna jest równa zero wszędzie na tej linii.
Twierdzenie Rolle’a głosi, że jeśli funkcja o wartościach rzeczywistych jest ciągła na przedziale domkniętym, różniczkowalna na przedziale otwartym i przyjmuje równe wartości w obu punktach końcowych, to w przedziale otwartym istnieje co najmniej jeden punkt, w którym pochodna funkcji jest równa zero.
Twierdzenie Rolle’a opisuje ważną właściwość funkcji różniczkowalnych. Dotyczy ono funkcji o wartościach rzeczywistych zdefiniowanej na przedziale domkniętym, pod warunkiem spełnienia trzech określonych warunków. Po pierwsze, funkcja musi być ciągła w całym przedziale. Po drugie, musi być różniczkowalna, co oznacza, że ma w każdym punkcie wewnętrznym zdefiniowaną styczną, która nie jest pionowa. Wreszcie, wartości funkcji w obu punktach końcowych przedziału muszą być równe. Gdy te warunki są spełnione, twierdzenie Rolle’a gwarantuje, że w przedziale otwartym istnieje co najmniej jeden punkt, w którym współczynnik kierunkowy stycznej jest równy zero. Innymi słowy, musi istnieć co najmniej jeden punkt wewnętrzny, w którym pochodna funkcji jest równa zero.
Zastosowania
Twierdzenie Rolle’a odgrywa ważną rolę w takich dziedzinach jak inżynieria, fizyka i matematyka stosowana. Pomaga ono identyfikować punkty krytyczne, przydatne w rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych, w których celem jest znalezienie wartości maksymalnych lub minimalnych. Twierdzenie to wspiera również metody numeryczne, które lokalizują pierwiastki równań. Co więcej, twierdzenie Rolle’a stanowi podstawę twierdzenia o wartości średniej, które wiąże średnie tempo zmian z chwilowymi tempami zmian, czyniąc je tym samym fundamentalnym narzędziem modelowania procesów w nauce i inżynierii.
Twierdzenie Rolle'a mówi, że jeśli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym, różniczkowalna na przedziale otwartym i równa w obu końcach, to pochodna jest równa zerowi w pewnym punkcie między tymi końcami.
Rozważmy drogę, po której pojazd wspina się, osiąga szczyt, a następnie schodzi.
Ponieważ zaczyna się i kończy na tej samej wysokości, musi istnieć punkt, w którym wznoszenie zmienia się w zejście. W tym momencie nachylenie staje się zero, spełniając twierdzenie Rolle'a.
Funkcja na domkniętym przedziale może przyjmować różne kształty, z których wszystkie mogą spełniać twierdzenie Rolle'a, jeśli warunki są spełnione.
Niektóre funkcje mogą mieć więcej niż jeden punkt, w którym pochodna jest równa zeru, na przykład gdy w przedziale występują zarówno lokalne maksima, jak i minima.
Z kolei wysokość pociągu na płaskim torze jest graficznie przedstawiona jako linia pozioma. Tutaj każdy punkt na torze spełnia twierdzenie Rolle'a, ponieważ pochodna jest równa zero wszędzie na tej linii.
From Chapter 3:
Now Playing
Applications of Differentiation
291 Views
Applications of Differentiation
326 Views
Applications of Differentiation
310 Views
Applications of Differentiation
276 Views
Applications of Differentiation
346 Views
Applications of Differentiation
291 Views
Applications of Differentiation
435 Views
Applications of Differentiation
334 Views
Applications of Differentiation
367 Views
Applications of Differentiation
348 Views
Applications of Differentiation
202 Views
Applications of Differentiation
397 Views
Applications of Differentiation
342 Views
Applications of Differentiation
297 Views
Applications of Differentiation
419 Views
See More