Niektóre równania nie mają prawdziwego rozwiązania, ponieważ obejmują pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych.
Aby temu zaradzić, wprowadza się liczby zespolone, definiując pierwiastek kwadratowy z −1 jako jednostkę urojoną i.
Można to zobrazować na płaszczyźnie zespolonej, gdzie części rzeczywiste i urojone tworzą prostopadłe osie, umieszczając każdą liczbę zespoloną jako punkt.
Dodawanie liczb zespolonych polega na osobnym dodawaniu ich części rzeczywistych i urojonych.
Mnożenie liczb zespolonych odbywa się zgodnie z właściwością rozdzielności. Ponieważ i2=−1, każde wystąpienie i2 jest zastępowane przez −1podczas upraszczania.
Dzielenie liczb zespolonych polega na pomnożeniu zarówno licznika, jak i mianownika przez sprzęgnięcie mianownika - który ma tę samą część rzeczywistą i przeciwną część urojoną - w celu wyeliminowania części urojonej.
Tak jak każda dodatnia liczba rzeczywista ma dwa pierwiastki kwadratowe, tak każda ujemna liczba rzeczywista ma również dwa zespolone pierwiastki kwadratowe, które są sprzężonymi zespolonymi.
Liczby zespolone są używane w obrazowaniu metodą rezonansu magnetycznego, w którym skaner zbiera złożone dane sygnałowe zwane k-przestrzenią. Dane te są przekształcane w obrazy przestrzenne za pomocą odwrotnych transformacji Fouriera.
Układ liczb rzeczywistych nie umożliwia przedstawienia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co ogranicza rozwiązywanie niektórych równań, np. równań kwadratowych z ujemnym wyróżnikiem. Aby temu zaradzić, opracowano układ liczb zespolonych, wprowadzając jednostkę urojoną i, gdzie i = √(-1). To rozszerzenie umożliwia reprezentację wszystkich pierwiastków, w tym tych z liczbami pod pierwiastkiem ujemnymi.
Liczbę zespoloną zapisuje się w postaci x + yi, gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi. Tutaj x oznacza część rzeczywistą, a y — część urojoną. Jednostka urojona i spełnia podstawową własność i^2=-1. Z tego wynika, że każde równanie kwadratowe ma rozwiązanie w układzie liczb zespolonych, ponieważ można reprezentować zarówno dodatnie, jak i ujemne pierwiastki kwadratowe.
Arytmetyka na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych podlegają ogólnym regułom algebry, z modyfikacją wynikającą z własności i.
Dodawanie
Aby dodać dwie liczby zespolone, np. x + yi i u + vi, łączymy oddzielnie części rzeczywiste i urojone:
Odejmowanie
Analogicznie, odejmowanie polega na odjęciu odpowiednich części rzeczywistych i urojonych:
Mnożenie
Mnożenie liczb zespolonych wykorzystuje rozdzielność i upraszczanie z użyciem i^2=-1:
Sprzężenia liczb zespolonych i dzielenie
Sprzężenie liczby zespolonej x + yi wynosi x - yi. Iloczyn liczby zespolonej i jej sprzężenia jest liczbą rzeczywistą:
Własność ta jest kluczowa w dzieleniu. Aby podzielić x + yi przez u + vi, mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:
Zastosowania liczb zespolonych
Liczby zespolone są podstawowe w wielu dziedzinach nauki i inżynierii. W elektrotechnice impedancję w obwodach prądu przemiennego zapisuje się jako wielkość zespoloną, gdzie część urojona reprezentuje reaktancję. W przetwarzaniu sygnałów i w automatyce liczby zespolone modelują oscylacje, przesunięcia fazowe i charakterystyki częstotliwościowe. Ich zdolność do jednoczesnego opisu modułu i kierunku czyni je niezbędnym narzędziem analizy układów dynamicznych.
Niektóre równania nie mają prawdziwego rozwiązania, ponieważ obejmują pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych.
Aby temu zaradzić, wprowadza się liczby zespolone, definiując pierwiastek kwadratowy z −1 jako jednostkę urojoną i.
Można to zobrazować na płaszczyźnie zespolonej, gdzie części rzeczywiste i urojone tworzą prostopadłe osie, umieszczając każdą liczbę zespoloną jako punkt.
Dodawanie liczb zespolonych polega na osobnym dodawaniu ich części rzeczywistych i urojonych.
Mnożenie liczb zespolonych odbywa się zgodnie z właściwością rozdzielności. Ponieważ i2=−1, każde wystąpienie i2 jest zastępowane przez −1podczas upraszczania.
Dzielenie liczb zespolonych polega na pomnożeniu zarówno licznika, jak i mianownika przez sprzęgnięcie mianownika - który ma tę samą część rzeczywistą i przeciwną część urojoną - w celu wyeliminowania części urojonej.
Tak jak każda dodatnia liczba rzeczywista ma dwa pierwiastki kwadratowe, tak każda ujemna liczba rzeczywista ma również dwa zespolone pierwiastki kwadratowe, które są sprzężonymi zespolonymi.
Liczby zespolone są używane w obrazowaniu metodą rezonansu magnetycznego, w którym skaner zbiera złożone dane sygnałowe zwane k-przestrzenią. Dane te są przekształcane w obrazy przestrzenne za pomocą odwrotnych transformacji Fouriera.
