1.9
Liczby zespolone
Układ liczb rzeczywistych nie umożliwia przedstawienia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co ogranicza rozwiązywanie niektórych równań, np. ró…
Niektóre równania nie mają prawdziwego rozwiązania, ponieważ obejmują pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych.
Aby temu zaradzić, wprowadza się liczby zespolone, definiując pierwiastek kwadratowy z −1 jako jednostkę urojoną i.
Można to zobrazować na płaszczyźnie zespolonej, gdzie części rzeczywiste i urojone tworzą prostopadłe osie, umieszczając każdą liczbę zespoloną jako punkt.
Dodawanie liczb zespolonych polega na osobnym dodawaniu ich części rzeczywistych i urojonych.
Mnożenie liczb zespolonych odbywa się zgodnie z właściwością rozdzielności. Ponieważ i2=−1, każde wystąpienie i2 jest zastępowane przez −1 podczas upraszczania.
Dzielenie liczb zespolonych polega na pomnożeniu zarówno licznika, jak i mianownika przez sprzęgnięcie mianownika - który ma tę samą część rzeczywistą i przeciwną część urojoną - w celu wyeliminowania części urojonej.
Tak jak każda dodatnia liczba rzeczywista ma dwa pierwiastki kwadratowe, tak każda ujemna liczba rzeczywista ma również dwa zespolone pierwiastki kwadratowe, które są sprzężonymi zespolonymi.
Liczby zespolone są używane w obrazowaniu metodą rezonansu magnetycznego, w którym skaner zbiera złożone dane sygnałowe zwane k-przestrzenią. Dane te są przekształcane w obrazy przestrzenne za pomocą odwrotnych transformacji Fouriera.
View the full transcript and gain access to JoVE Core videos
Q1: Why are complex numbers necessary in mathematics?
Complex numbers extend the real number system to solve equations that have no real solutions, particularly those involving square roots of negative numbers. The imaginary unit i is defined as the square root of −1, allowing equations like x² + 1 = 0 to have solutions within the complex number system. This expansion ensures all polynomial equations can be solved.
Q2: How do you add and subtract complex numbers?
Complex numbers are added and subtracted by combining their real and imaginary parts separately. For example, to add (x + yi) and (u + vi), add the real parts (x + u) and the imaginary parts (y + v) to get (x + u) + (y + v)i. Subtraction follows the same process, subtracting corresponding parts independently.
Q3: What happens when you multiply complex numbers?
Multiplying complex numbers uses the distributive property, treating i as a variable. The key simplification rule is i² = −1, which replaces any occurrence of i² with −1 during simplification. For example, (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i − 3 = −1 + 5i.
Q4: How do you divide complex numbers?
To divide complex numbers, multiply both the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. The conjugate of (u + vi) is (u − vi). This eliminates the imaginary part from the denominator, leaving a real number that allows simplification of the entire fraction.
Q5: What is a complex conjugate and why is it useful?
The complex conjugate of (x + yi) is (x − yi), with the same real part and opposite imaginary part. When a complex number is multiplied by its conjugate, the result is always a real number. This property is essential for division and simplification, as it converts complex denominators into real numbers.
Q6: How are complex numbers visualized?
Complex numbers are visualized on the complex plane, where the real part is plotted on the horizontal axis and the imaginary part on the vertical axis. Each complex number corresponds to a unique point on this plane, with perpendicular axes representing the real and imaginary dimensions.
Q7: What are real-world applications of complex numbers?
Complex numbers are used in electrical engineering to express impedance in alternating current circuits, where the imaginary part represents reactance. In signal processing and control systems, they model oscillations, phase shifts, and frequency responses. Medical imaging, such as Magnetic Resonance Imaging, uses complex signal data called k-space, converted into spatial images using inverse Fourier transforms.