10.3
Ciągi arytmetyczne
Ciąg arytmetyczny to lista liczb, w której każdy wyraz zwiększa się lub zmniejsza o tę samą stałą liczbę, znaną jako wspólna różnica. Weźmy pod uwagę stos słupów. Pierwsza warstwa zawiera 25 biegunów, a liczba biegunów zmniejsza się o 1 w każdej kolejnej warstwie.
Biorąc pod uwagę, że stos ma 12 warstw, celem jest znalezienie całkowitej liczby słupów.
Ten układ tworzy ciąg arytmetyczny, ponieważ liczba biegunów zmniejsza się o stałą wartość z jednej warstwy na drugą.
W tym scenariuszu liczba biegunów w 12. warstwie jest obliczana przy użyciu wzoru na n-ty składnik ciągu arytmetycznego, w oparciu o pierwszy składnik, wspólną różnicę i liczbę warstw. Wartości tych terminów są następnie podstawiane do wzoru, który upraszcza się do 25 minus 11, co daje 14 biegunów w 12. warstwie.
Całkowita liczba słupów w stosie, znana jako częściowa suma sekwencji, jest następnie obliczana, biorąc średnią liczby słupów w pierwszej i ostatniej warstwie i mnożąc ją przez całkowitą liczbę warstw. Nazywa się to sumą częściową, ponieważ dodawanych jest tylko pierwszych 12 wyrazów sekwencji. Daje to częściową sumę 12 pomnożoną przez średnią 25 i 14, co daje 234 bieguny.
Ciąg arytmetyczny to uporządkowany ciąg liczb, w którym każdy wyraz wyznacza się przez dodanie stałej wartości, zwanej wspólną różnicą, do wyrazu poprzedniego. Ta stała reguła umożliwia efektywne wyznaczanie dowolnego wyrazu ciągu oraz sumy częściowej wielu wyrazów. Wzór na znalezienie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego to:
W tym przypadku a_n oznacza n-ty wyraz ciągu, a jest pierwszym wyrazem, d jest wspólną różnicą, a n to numer (pozycja) wyrazu w ciągu. To równanie jest niezbędne do wyznaczenia wartości dowolnego wyrazu bez konieczności wypisywania wszystkich poprzednich. Aby obliczyć sumę pierwszych n wyrazów, zwaną sumą częściową, stosuje się jeden z następujących wzorów:
W tych wyrażeniach S_n oznacza sumę pierwszych n wyrazów, a a_n ponownie odnosi się do n-tego wyrazu, wyznaczonego za pomocą wcześniejszego wzoru. Wzory te stanowią zwięzłe i systematyczne narzędzie do analizy regularnych wzorców liczbowych zarówno w zastosowaniach teoretycznych, jak i praktycznych.
Ciąg arytmetyczny to lista liczb, w której każdy wyraz zwiększa się lub zmniejsza o tę samą stałą liczbę, znaną jako wspólna różnica. Weźmy pod uwagę stos słupów. Pierwsza warstwa zawiera 25 biegunów, a liczba biegunów zmniejsza się o 1 w każdej kolejnej warstwie.
Biorąc pod uwagę, że stos ma 12 warstw, celem jest znalezienie całkowitej liczby słupów.
Ten układ tworzy ciąg arytmetyczny, ponieważ liczba biegunów zmniejsza się o stałą wartość z jednej warstwy na drugą.
W tym scenariuszu liczba biegunów w 12. warstwie jest obliczana przy użyciu wzoru na n-ty składnik ciągu arytmetycznego, w oparciu o pierwszy składnik, wspólną różnicę i liczbę warstw. Wartości tych terminów są następnie podstawiane do wzoru, który upraszcza się do 25 minus 11, co daje 14 biegunów w 12. warstwie.
Całkowita liczba słupów w stosie, znana jako częściowa suma sekwencji, jest następnie obliczana, biorąc średnią liczby słupów w pierwszej i ostatniej warstwie i mnożąc ją przez całkowitą liczbę warstw. Nazywa się to sumą częściową, ponieważ dodawanych jest tylko pierwszych 12 wyrazów sekwencji. Daje to częściową sumę 12 pomnożoną przez średnią 25 i 14, co daje 234 bieguny.
From Chapter 10:
Now Playing
10.3 : Ciągi arytmetyczne
Introduction to Sequences and Series
413 Views
10.1 : Ciągi
Introduction to Sequences and Series
571 Views
10.2 : Notacja sumowania
Introduction to Sequences and Series
471 Views
10.4 : Ciągi geometryczne
Introduction to Sequences and Series
448 Views
10.5 : Indukcja matematyczna
Introduction to Sequences and Series
514 Views
10.6 : Twierdzenie dwumianowe
Introduction to Sequences and Series
647 Views
10.7 : Rozwinięcie dwumianu za pomocą trójkąta Pascala
Introduction to Sequences and Series
530 Views