Objętości brył obrotowych

Objętości nieregularnie ukształtowanych obiektów można dokładnie określić, korzystając z koncepcji ciał obrotowych. Na przykład rozważmy funkcję krzywą w płaszczyźnie dwuwymiarowej. Obrótając tę krzywą wokół osi x, powstaje symetryczny trójwymiarowy kształt zwany bryłą obrotową. Linia, wokół której obraca się ten region, to oś obrotu.

Gdy obszar leży bezpośrednio względem osi, powstają stałe okrągłe przekroje poprzeczne. Aby określić objętość takiego ciała stałego, można zastosować metodę dyskową.

Ta metoda dzieli ciało stałe na cienkie przecinki prostopadle do osi. Każdy wycinek staje się tarczą o niewielkiej szerokości i promieniu równym odległości od osi do krzywej.

Objętość każdego dysku uzyskuje się przez pomnożenie jego pola przez grubość. Całkowita objętość ciała stałego jest przybliżona przez sumowanie objętości wszystkich powstałych okrągłych dysków.

Wraz ze wzrostem liczby dysków i zbliżaniem się do zera ich grubość, suma przechodzi do określonej całki pola przekroju na danym przedziale, co daje dokładną objętość.

Zmienna całkowania i wyrażenie dla promienia zależą od orientacji osi.