6.9
Przybliżona całkość stosuje się, gdy dokładna wartość całki określonej nie może być obliczona.
Zazwyczaj pojawia się to w dwóch głównych przypadkach: gdy pochodna antypochodna funkcji jest nieznana lub nie istnieje w postaci zamkniętej, oraz gdy funkcja składa się z danych empirycznych, takich jak zestaw dyskretnych punktów z eksperymentu, a nie z ciągłego wzoru.
W takich sytuacjach całki określone szacuje się za pomocą sum Riemanna, które dzielą przedział na n równych podprzedziałów o szerokości Δx.
Dla każdego podprzedziału konstruuje się prostokąt, którego wysokość jest ustalana przez wartość funkcji w określonym punkcie tego podprzedziału.
W przybliżeniu lewego końca Ln wysokość każdego prostokąta jest ustalana przez wartość funkcji na lewym końcu.
Jeśli funkcja rośnie, ta metoda zaniża powierzchnię; jeśli funkcja maleje, przeszacuje ją.
Przybliżenie prawego końca Rn wykorzystuje prawy koniec każdego podprzedziału. Ta metoda zawyża powierzchnię, jeśli funkcja rośnie i odwrotnie.
Metody te wykorzystują podstawową geometrię — dodawanie prostokątnych powierzchni — do szacowania całek funkcji złożonych lub nieznanych.
W wielu praktycznych i teoretycznych kontekstach dokładna wartość całki oznaczonej może być nieosiągalna. Ograniczenie to pojawia się zazwyczaj, gdy funkcja pierwotna jest nieznana lub nie może być zapisana w zamkniętej postaci matematycznej. Alternatywnie, może ono wystąpić, gdy funkcja jest zdefiniowana nie za pomocą wzoru, lecz za pomocą skończonego zbioru danych empirycznych, takich jak te zebrane podczas eksperymentów. W takich przypadkach metody całkowania przybliżonego stanowią wartościowe rozwiązanie.
Jedną z najczęściej stosowanych metod są sumy Riemanna, które szacują pole pod krzywą przez podzielenie przedziału całkowania na kilka równych części. Każdy podprzedział jest powiązany z prostokątem, którego wysokość jest określona przez wartość funkcji w wybranym punkcie tego podprzedziału. Ta prosta interpretacja geometryczna pozwala na przybliżenia numeryczne, gdy metody analityczne są niewykonalne.
Wybór punktu w każdym podprzedziale prowadzi do różnych metod. W przybliżeniu w lewym punkcie końcowym wysokość każdego prostokąta opiera się na wartości funkcji na lewym końcu podprzedziału. Gdy funkcja rośnie, metoda ta ma tendencję do niedoszacowania całkowitej powierzchni; gdy funkcja maleje, zazwyczaj prowadzi do przeszacowania. Z kolei przybliżenie w prawym punkcie końcowym wykorzystuje wartość funkcji na prawym końcu każdego podprzedziału, co prowadzi do przeszacowania dla funkcji rosnących i niedoszacowania dla funkcji malejących.
Techniki te, choć proste w sformułowaniu, stanowią podstawowe narzędzia w analizie numerycznej. Są one szczególnie cenne w zastosowaniach naukowych i inżynierskich, gdzie całki muszą być wyznaczane na podstawie pomiarów dyskretnych lub dla funkcji zbyt złożonych, aby można je było całkować symbolicznie.
Przybliżona całkość stosuje się, gdy dokładna wartość całki określonej nie może być obliczona.
Zazwyczaj pojawia się to w dwóch głównych przypadkach: gdy pochodna antypochodna funkcji jest nieznana lub nie istnieje w postaci zamkniętej, oraz gdy funkcja składa się z danych empirycznych, takich jak zestaw dyskretnych punktów z eksperymentu, a nie z ciągłego wzoru.
W takich sytuacjach całki określone szacuje się za pomocą sum Riemanna, które dzielą przedział na n równych podprzedziałów o szerokości Δx.
Dla każdego podprzedziału konstruuje się prostokąt, którego wysokość jest ustalana przez wartość funkcji w określonym punkcie tego podprzedziału.
W przybliżeniu lewego końca Ln wysokość każdego prostokąta jest ustalana przez wartość funkcji na lewym końcu.
Jeśli funkcja rośnie, ta metoda zaniża powierzchnię; jeśli funkcja maleje, przeszacuje ją.
Przybliżenie prawego końca Rn wykorzystuje prawy koniec każdego podprzedziału. Ta metoda zawyża powierzchnię, jeśli funkcja rośnie i odwrotnie.
Metody te wykorzystują podstawową geometrię — dodawanie prostokątnych powierzchni — do szacowania całek funkcji złożonych lub nieznanych.
From Chapter 6:
Now Playing
Techniques of Integration
295 Views
Techniques of Integration
716 Views
Techniques of Integration
366 Views
Techniques of Integration
245 Views
Techniques of Integration
386 Views
Techniques of Integration
276 Views
Techniques of Integration
297 Views
Techniques of Integration
465 Views
Techniques of Integration
220 Views
Techniques of Integration
401 Views
Techniques of Integration
410 Views
Techniques of Integration
298 Views
Techniques of Integration
342 Views
Techniques of Integration
231 Views