Całkowanie przybliżone

W wielu praktycznych i teoretycznych kontekstach dokładna wartość całki oznaczonej może być nieosiągalna. Ograniczenie to pojawia się zazwyczaj, gdy funkcja pierwotna jest nieznana lub nie może być zapisana w zamkniętej postaci matematycznej. Alternatywnie, może ono wystąpić, gdy funkcja jest zdefiniowana nie za pomocą wzoru, lecz za pomocą skończonego zbioru danych empirycznych, takich jak te zebrane podczas eksperymentów. W takich przypadkach metody całkowania przybliżonego stanowią wartościowe rozwiązanie.

Jedną z najczęściej stosowanych metod są sumy Riemanna, które szacują pole pod krzywą przez podzielenie przedziału całkowania na kilka równych części. Każdy podprzedział jest powiązany z prostokątem, którego wysokość jest określona przez wartość funkcji w wybranym punkcie tego podprzedziału. Ta prosta interpretacja geometryczna pozwala na przybliżenia numeryczne, gdy metody analityczne są niewykonalne.

Wybór punktu w każdym podprzedziale prowadzi do różnych metod. W przybliżeniu w lewym punkcie końcowym wysokość każdego prostokąta opiera się na wartości funkcji na lewym końcu podprzedziału. Gdy funkcja rośnie, metoda ta ma tendencję do niedoszacowania całkowitej powierzchni; gdy funkcja maleje, zazwyczaj prowadzi do przeszacowania. Z kolei przybliżenie w prawym punkcie końcowym wykorzystuje wartość funkcji na prawym końcu każdego podprzedziału, co prowadzi do przeszacowania dla funkcji rosnących i niedoszacowania dla funkcji malejących.

Techniki te, choć proste w sformułowaniu, stanowią podstawowe narzędzia w analizie numerycznej. Są one szczególnie cenne w zastosowaniach naukowych i inżynierskich, gdzie całki muszą być wyznaczane na podstawie pomiarów dyskretnych lub dla funkcji zbyt złożonych, aby można je było całkować symbolicznie.