6.10
Reguła punktu środkowego i reguła trapezów
Przybliżanie odległości przebytej przez pojazd na podstawie zarejestrowanej prędkości w czasie jest częstym problemem w fizyce i inżynierii. Gdy dane…
Wyobraź sobie ciężarówkę jadącą autostradą. Aby znaleźć odległość, jaką pokonuje w danym przedziale czasowym t, znajdź pole pod wykresem prędkości–czas.
Ponieważ prędkość ciężarówki jest znana w dyskretnych punktach czasowych, nie można dokładnie obliczyć tego obszaru. Zamiast tego powierzchnię przybliża się za pomocą reguły trapezowej. Aby to zrobić, podziel całkowity przedział czasu na n równych podprzedziałów, z których każdy ma szerokość Δt.
W tej metodzie dwa końce każdego podprzedziału są połączone prostą, tworząc trapezy.
Dla danego podprzedziału, który ma dwie pionowe boki reprezentujące prędkości oraz poziomą bazę reprezentującą szerokość czasu, pole tego trapezu jest średnią długości jego dwóch pionowych boków pomnożonych przez odległość poziomą.
Dodanie powierzchni wszystkich n trapezoidów daje przybliżenie przemieszczenia.
Po manipulacjach algebraicznych i rozwiązaniu tego sumowania, pierwsza i ostatnia prędkość pojawiają się raz, natomiast prędkości wewnętrzne pojawiają się dwukrotnie, ponieważ każda należy do dwóch trapezów.
Po połączeniu podobnych wyrażeń, otrzymane wyrażenie przybliża całkowite przemieszczenie w określonym przedziale czasowym.
View the full transcript and gain access to JoVE Core videos
Q1: How does the trapezoidal rule approximate the area under a curve?
The trapezoidal rule divides the total interval into equal subintervals and connects the endpoints of each subinterval with a straight line, forming trapezoids. The area of each trapezoid is calculated as the average of its two vertical sides multiplied by the horizontal width. Summing all trapezoid areas yields an approximation of the total area under the curve, making it a key method in approximate integration.
Q2: Why do interior velocities appear twice in the trapezoidal rule formula?
Interior velocities appear twice because each interior point belongs to two adjacent trapezoids. The first and last velocities appear only once, at the boundaries of the total interval. This pattern emerges when combining like terms after summing all individual trapezoid areas.
Q3: What is the practical application of the trapezoidal rule in motion problems?
The trapezoidal rule estimates displacement when velocity data is available at discrete time intervals rather than as a continuous function. By approximating the area under a velocity-time graph, it calculates the total distance traveled by a vehicle or object over a specified time period, making it valuable for analyzing empirical motion data.
Q4: How does dividing the interval into more subintervals affect the trapezoidal rule approximation?
Increasing the number of equal subintervals improves the accuracy of the trapezoidal rule approximation. With more subintervals, the straight lines connecting endpoints more closely follow the actual curve, resulting in a more reliable estimate of the total area or displacement, especially for time-dependent processes.
Q5: What does each component of a trapezoid represent in a velocity-time graph?
In a velocity-time graph, each trapezoid has two vertical sides representing the velocities at the beginning and end of a time segment, and a horizontal base representing the time interval width. The area of this trapezoid represents the approximate displacement during that specific time segment.
Q6: When is the trapezoidal rule preferred over other numerical integration methods?
The trapezoidal rule is a fundamental technique in numerical analysis preferred when empirical data is available at discrete points and a continuous function is unavailable. It provides a practical, straightforward approach to integrating motion or other time-dependent processes without requiring complex calculations or assumptions about underlying function behavior.