Zastosowania całkowania w wyznaczaniu przepływu krwi

Przepływ krwi w naczyniu krwionośnym można opisać za pomocą prawa przepływu laminarnego, gdzie prędkość zmienia się wraz z promieniową odległością od środka.

Całkowity przepływ krwi można przybliżyć, dzieląc przekrój na cienkie koncentryczne pierścienie o zmiennych promieniach.

Powierzchnia każdego pierścienia jest dana przez jego obwód pomnożony przez niewielką grubość.

Przepływ przez każdy pierścień można przybliżyć jako iloczyn jego powierzchni i prędkości w tym promieniu.

Sumowanie tych przepływów dla wszystkich pierścieni daje przybliżony całkowity przepływ, zwany sumą Riemanna.

Gdy liczba pierścieni zbliża się do nieskończoności, suma Riemanna zbliża się do dokładnych wartości, reprezentowanych przez całkę określoną od środka do ściany naczynia.

Funkcja prędkości w całce pochodzi z prawa przepływu laminarnego. Stwierdza ona, że prędkość w odległości r zależy od różnicy ciśnień, lepkości płynu oraz długości naczynia.

Podstawienie wyrażenia prędkości do całki i całkowanie przez promień naczynia daje dokładny przepływ krwi.

Ten wynik, zwany prawem Poiseuille'a, pokazuje, że przepływ skaluje się z czwartą potęgą promienia naczynia. Dlatego nawet niewielkie zwężenie naczyń krwionośnych gw