Wprowadzenie do równań różniczkowych

Równanie różniczkowe to równanie, które zawiera nieznaną funkcję oraz jedną lub więcej jej pochodnych. Rząd równania różniczkowego jest dany przez pochodną najwyższego rzędu obecną w równaniu.

Gdy równanie obejmuje tylko pierwszą pochodną, nazywa się je pierwszym rzędem. Jeśli obejmuje drugą pochodną, nazywa się ją drugim rzędem i tak dalej.

Na przykład układ sprężyna-masa można modelować jako prosty oscylator harmoniczny, który wyrównuje siłę netto na masę i siłę przywracającą sprężynę, opisaną przez prawo Hooke'a dla sprężyn liniowych.

Siła sprężyny działa w kierunku przeciwnym do przemieszczenia i jest proporcjonalna do tego, jak daleko masa przesuwa się od swojej pozycji równowagi.

Drugie prawo Newtona łączy siłę netto na masę z jej przyspieszeniem. Połączenie tych dwóch zależności daje równanie, w którym masa razy przyspieszenie równa się ujemnej stałej razy przemieszczenie.

Przepisując przyspieszenie jako drugą pochodną przemieszczenia w czasie, otrzymuje się równanie różniczkowe drugiego rzędu.

Ta druga pochodna łączy ruch układu z równaniem różniczkowym.