Równania różniczkowe rozdzielne

Równanie separowalne to równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które można podzielić na dwie niezależne części — jedną zawierającą tylko x , a drugą tylko y.

Wyrazy y są umieszczone po jednej stronie, a wyrazy x po drugiej, co pozwala na oddzielną całkowanie.

Na przykład rozważmy gorącą filiżankę herbaty chłodzącą w pomieszczeniu.

Szybkość stygnięcia herbaty jest proporcjonalna do różnicy między jej temperaturą a temperaturą pokojową. Do stałej proporcjonalności k dodaje się znak ujemny, aby wskazać, że temperatura spada z czasem.

Równanie jest separowalne, ponieważ można je przepisać z temperaturą po jednej stronie i czasem z drugiej. Całkowanie obu stron daje równanie logarytmiczne o stałej całkowania.

Gdy obie strony są wykładnicze, powstaje ogólne rozwiązanie, z stałą, która może być dodatnia, ujemna lub zerowa. Stałą otrzymuje się, podstawiając t równe zero i temperaturze początkowej.

Różnica temperatur zmniejsza się wykładniczo, powodując, że herbata najpierw szybko stygnie, a z czasem coraz wolniej.