10.7
Rozwinięcie dwumianu za pomocą trójkąta Pascala
Dwumian jest wyrażeniem w postaci a + b, gdzie a i b są liczbami lub wyrażeniami algebraicznymi.
Podniesienie go do potęgi n tworzy serię terminów, które są zgodne z przewidywalnym wzorcem.
Każde rozszerzenie ma n + 1 wyrazy, zaczynające się od a n i kończące na bn.
Te wzorce są zgodne z narzędziem wizualnym znanym jako Trójkąt Pascala.
Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, w której każdy rząd zapewnia współczynniki dla dwumianu podniesionego do określonej potęgi.
Na przykład piąty rząd daje współczynniki dla a + b podniesione do piątej potęgi.
Każdy wiersz zaczyna się i kończy na jeden, a każda liczba wewnętrzna jest równa sumie dwóch liczb znajdujących się po przekątnej nad nim. Trójkąt Pascala zapewnia współczynniki twierdzenia dwumianowego, obliczane jako n wybierz k.
Ten wzorzec dotyczy również prawdopodobieństwa. W rzutach monetą H i T reprezentują orła i reszkę. Dla trzech rzutów suma H i T podniesiona do trzeciej potęgi reprezentuje wszystkie możliwe wyniki.
Po rozwinięciu i porównaniu z trójkątem Pascala, każdy wyraz odpowiada możliwemu wynikowi: trzy orły, dwa orły i jedna reszelka, jeden orzeł i dwie reszki lub trzy reszki.
Rozwinięcie wyrażenia dwumianowego, takiego jak (a + b)^n, prowadzi do przewidywalnego ciągu wyrazów, który można systematycznie otrzymać za pomocą trójkąta Pascala. Ten trójkątny układ liczb odgrywa kluczową rolę w zrozumieniu i obliczaniu współczynników rozwinięć dwumianowych.
Trójkąt Pascala jest skonstruowany w taki sposób, że każdy wiersz odpowiada współczynnikom wyrazu (a + b)^n. Najwyższy wiersz, znany jako wiersz zerowy, odpowiada (a + b)^0, a każdy kolejny wiersz odpowiada kolejnym wartościom n. Na przykład szósty wiersz trójkąta Pascala, 1, 5, 10, 10, 5, 1, odpowiada (a + b)^5. Każdy wiersz zaczyna się i kończy liczbą 1. Każdy element wewnętrzny oblicza się jako sumę dwóch elementów położonych ukośnie powyżej w poprzednim wierszu, co ilustruje strukturę rekurencyjną trójkąta.
W rozwinięciu (a + b)^n wykładniki a maleją od n do 0, podczas gdy wykładniki b rosną od 0 do n. W konsekwencji każdy wyraz w rozwinięciu przyjmuje postać:
gdzie „n po r” oznacza współczynnik dwumianowy, znajdujący się w pozycji r-tej w wierszu n-tym trójkąta Pascala.
Dwumian jest wyrażeniem w postaci a + b, gdzie a i b są liczbami lub wyrażeniami algebraicznymi.
Podniesienie go do potęgi n tworzy serię terminów, które są zgodne z przewidywalnym wzorcem.
Każde rozszerzenie ma n + 1 wyrazy, zaczynające się od a n i kończące na bn.
Te wzorce są zgodne z narzędziem wizualnym znanym jako Trójkąt Pascala.
Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, w której każdy rząd zapewnia współczynniki dla dwumianu podniesionego do określonej potęgi.
Na przykład piąty rząd daje współczynniki dla a + b podniesione do piątej potęgi.
Każdy wiersz zaczyna się i kończy na jeden, a każda liczba wewnętrzna jest równa sumie dwóch liczb znajdujących się po przekątnej nad nim. Trójkąt Pascala zapewnia współczynniki twierdzenia dwumianowego, obliczane jako n wybierz k.
Ten wzorzec dotyczy również prawdopodobieństwa. W rzutach monetą H i T reprezentują orła i reszkę. Dla trzech rzutów suma H i T podniesiona do trzeciej potęgi reprezentuje wszystkie możliwe wyniki.
Po rozwinięciu i porównaniu z trójkątem Pascala, każdy wyraz odpowiada możliwemu wynikowi: trzy orły, dwa orły i jedna reszelka, jeden orzeł i dwie reszki lub trzy reszki.
From Chapter 10:
Now Playing
10.7 : Rozwinięcie dwumianu za pomocą trójkąta Pascala
Introduction to Sequences and Series
534 Views
10.1 : Ciągi
Introduction to Sequences and Series
574 Views
10.2 : Notacja sumowania
Introduction to Sequences and Series
480 Views
10.3 : Ciągi arytmetyczne
Introduction to Sequences and Series
421 Views
10.4 : Ciągi geometryczne
Introduction to Sequences and Series
449 Views
10.5 : Indukcja matematyczna
Introduction to Sequences and Series
517 Views
10.6 : Twierdzenie dwumianowe
Introduction to Sequences and Series
649 Views