Pomiar kształtów drgań własnych Chladniego za pomocą dźwigni optycznej

Podsumowanie

Zaproponowana jest prosta metoda pomiaru kształtu modów Chladniego na elastycznej płytce za pomocą dźwigni optycznej.

Streszczenie

Ilościowe określanie wzoru Chladniego na elastycznej płycie jest bardzo interesujące zarówno w naukach fizycznych, jak i inżynieryjnych. W artykule zaproponowano metodę pomiaru kształtów drgań własnych płyty wibrującej w oparciu o metodę dźwigni optycznej. W pomiarze zastosowano trzy okrągłe płytki akrylowe pod różnymi centralnymi wzbudzeniami harmonicznymi. W odróżnieniu od tradycyjnej metody, w tym nowatorskim podejściu wykorzystuje się tylko zwykły długopis laserowy i ekran świetlny wykonany ze szlifowanego szkła. Podejście jest następujące: pióro laserowe kieruje wiązkę prostopadle na wibrującą płytę, a następnie wiązka odbija się od ekranu świetlnego w oddali, na którym tworzy się odcinek linii wykonany z odbitego punktu. Ze względu na zasadę trwałości wzroku, plamkę świetlną można odczytać jako jasną linię prostą. Zależność między nachyleniem kształtu drgań własnych, długością plamki świetlnej oraz odległością płyty wibracyjnej i ekranu świetlnego można uzyskać za pomocą operacji algebraicznych. Następnie kształt drgań własnych można określić, całkując rozkład nachylenia z odpowiednimi warunkami brzegowymi. W tak prosty sposób można było również dalej określić kształty drgań pełnych pola na płycie Chladniego.

Wprowadzenie

Kształty trybu Chladni są bardzo interesujące zarówno w zastosowaniach naukowych, jak i inżynieryjnych. Wzory Chladniego są reakcjami fal fizycznych, a wzór fal można zilustrować różnymi metodami. Jest to dobrze znana metoda pokazywania różnych trybów drgań na płycie sprężystej poprzez obrysowanie linii węzłowych. Małe cząstki są zawsze wykorzystywane do pokazania wzorów Chladniego, ponieważ mogą zatrzymać się w węzłach, w których względna amplituda drgań płytki wynosi zero, a pozycje węzłów zmieniają się w trybie rezonansowym, tworząc różne wzory Chladniego.

Wielu badaczy zwróciło uwagę na różne wzorce Chladniego, ale pokazują one tylko linie węzłowe kształtów modów, kształty drgań (tj. amplituda drgań) między liniami węzłowymi nie są zilustrowane. Waller badał drgania swobodne circle¹, square², równoramienne trójkąty prostokątne³, rectangular⁴, elliptical⁵ tablic i ilustrowane są na nich różne wzory Chladniego. Tuan i in. zrekonstruowali różne wzorce Chladniego zarówno za pomocą podejścia eksperymentalnego, jak i teoretycznego, a niejednorodne równanie Helmholtza zostało przyjęte podczas modelowania teoretycznego^6,7. Jest to popularna metoda wykorzystania laserowego wibrometru dopplerowskiego (LDV) lub elektronicznej interferometrii plamkowej (ESPI) do ilościowego pomiaru kształtów drgań własnych wzorców Chladniego^8,9,10. Chociaż LDV umożliwia rozdzielczość amplitudy femtometru i bardzo wysokie zakresy częstotliwości, niestety cena LDV jest również nieco wysoka w przypadku demonstracji w klasie i/lub edukacji fizycznej w college'u. Mając to na uwadze, w niniejszym artykule zaproponowano proste podejście do ilościowego określania kształtów drgań własnych wzoru Chladniego przy niskich kosztach, ponieważ w tym przypadku potrzebne jest tylko dodatkowe pióro laserowe i ekran świetlny.

Obecna metoda pomiaru jest zilustrowana w Rysunek 1¹¹. Płyta wibracyjna ma trzy różne pozycje: pozycję spoczynkową, pozycję 1 i pozycję 2. Pozycje 1 i 2 reprezentują dwa maksymalnie wibrujące miejsca płyty. Pióro laserowe emituje prostą wiązkę na powierzchnię płytki, a jeśli płyta znajduje się w pozycji spoczynkowej, wiązka laserowa zostanie bezpośrednio odbita do ekranu świetlnego. Podczas gdy płyta znajduje się w pozycji 1 i 2, wiązka laserowa zostanie odbita odpowiednio do punktu A i B na ekranie świetlnym. Ze względu na efekt trwałości wzroku na ekranie świetlnym pojawi się jasna linia prosta. Długość jasnego światła L jest związana z odległością D między ekranem świetlnym a położeniem punktu laserowego. Różne punkty na płycie mają różne nachylenia, które można określić na podstawie relacji między L i D. Po uzyskaniu nachylenia kształtu drgań własnych w różnych punktach płytki, problem zamienia się w całkę oznaczoną. Za pomocą granicznej amplitudy drgań płyty i dyskretnych danych o nachyleniu można łatwo uzyskać kształt drgań płyty wibracyjnej. Cała konfiguracja eksperymentalna jest podana w Rysunek 2¹¹.

Ten artykuł opisuje eksperymentalną konfigurację i procedurę dla metody dźwigni optycznej do pomiaru kształtów modów Chladniego. Zilustrowano również niektóre typowe wyniki eksperymentalne.

Protokół

1. Układ eksperymentalny i procedury

UWAGA: Układ eksperymentalny należy przygotować zgodnie z Rysunkiem 2.

1. Przygotowanie układu wibracyjnego
   1. Przygotuj trzy lustrzane, okrągłe płyty akrylowe o grubości 1,0 mm i średnicach odpowiednio 150 mm, 200 mm i 250 mm. Wywierć otwór o średnicy 3 mm w centrum każdej płyty. Zaznacz kilka czarnych punktów co 5 mm wzdłuż dowolnego promienia.
   2. Przymocuj każdą płytę do ramienia napędowego wibratora za pomocą śruby w punkcie centralnym. Steruj wibratorem za pomocą fali sinusoidalnej z generatora przebiegów; do eksperymentu rezonansowego wystarczające będą ustawienia domyślne.
      UWAGA: Kierunek wzbudzenia wibratora jest poziomy, aby ułatwić późniejsze przesuwanie ekranu.
   3. Wyznaczanie częstotliwości rezonansowej
      1. Ustaw pisak laserowy tak, aby wiązka lasera padała prostopadle na drgającą płytę, w taki sposób, by wiązka odbijała się od niej na oddalony ekran świetlny. Odległości między pisakiem laserowym a płytą oraz między płytą a ekranem świetlnym wynoszą odpowiednio 120 mm i 500 mm.
         UWAGA: Im większa odległość między ekranem świetlnym a drgającą płytą, tym zjawisko jest bardziej wyraźne. Zauważono również, że niniejszą metodą można mierzyć kształty drgań zarówno osiowo-symetrycznych, jak i nieosiowo-symetrycznych. Ze względu na prostotę i wygodę, w niniejszej publikacji zaprezentowano jedynie zastosowanie w wyznaczaniu osiowo-symetrycznych kształtów drgań trzech okrągłych płyt. Wówczas wystarczy zmierzyć amplitudę drgań wzdłuż dowolnego kierunku promieniowego, aby odtworzyć dwuwymiarowy kształt drgań płyty.
      2. Przesuwaj pisak laserowy w kierunku prostopadłym do jego osi, aby punkt padania wiązki skanował średnicę, podczas gdy generator sygnałów stale zmienia częstotliwość. Wykonuj to szybko, aż do momentu, gdy długość plamki zostanie znacząco rozciągnięta wzdłuż średnicy podczas skanowania w pewnym zakresie częstotliwości, a pojawią się również plamki niemal pozbawione rozszerzenia. Dla płyt o średnicach 150 mm, 200 mm i 250 mm zakresy częstotliwości poddawane skanowaniu wynoszą odpowiednio 200-400 Hz, 100-300 Hz i 50-250 Hz.
      3. Skanuj ten konkretny zakres częstotliwości powoli i wybierz częstotliwość, przy której plamka rozszerza się najbardziej wyraźnie. Stwierdzono, że dla płyt o średnicach 150 mm, 200 mm i 250 mm częstotliwości rezonansowe wynoszą odpowiednio 346 Hz, 214 Hz i 150 Hz.
2. Przygotowanie toru optycznego i układu pomiarowego
   1. Ustaw ekran świetlny równolegle do drgającej płyty. Odmierz odległość za pomocą miarki, przyjmując 500 mm jako odległość początkową.
   2. Ustaw pisak laserowy tak, aby wiązka padała prostopadle na płytę i odbijała się na oddalony ekran świetlny. Upewnij się, że wcześniej wykonane oznaczenia mogą zostać zeskanowane podczas przesuwania pisaka laserowego.
      UWAGA: Wiązka lasera musi padać prostopadle na płytę.
3. Pomiary eksperymentalne
   1. Włącz generator sygnałów i ustaw częstotliwość wzbudzenia na taką samą, jaka została wyznaczona w kroku 1.1.3.3. Intensywność sygnału powinna być tak mała, jak to możliwe, pod warunkiem, że plamka światła na ekranie jest wystarczająco duża, aby można ją było zarejestrować.
   2. Wyreguluj pisak laserowy tak, aby punkt padania wiązki pokrywał się z pierwszym znacznikiem, czyli najbliższym znacznikiem od punktu mocowania płyty.
   3. Przesuwaj ekran z odległości D równej 500 mm do 1000 mm i mierz długość plamki L na ekranie co 50 mm. Zapisuj dane w formie tabelarycznej.
   4. Wyreguluj pisak laserowy tak, aby punkt padania wiązki znajdował się kolejno przy następnym znaczniku i powtarzaj krok 1.3.3, aż wszystkie znaczniki zostaną zmierzone.
      UWAGA: Ponieważ płyty akrylowe łatwo ulegają odkształceniom plastycznym pod wpływem wzbudzenia, proces pomiarowy jednej płyty nie może być przerywany na dłuższy czas.
   5. Zastąp poprzednią płytę następną i powtórz kroki od 1.3.1 do 1.3.4.

2. Przetwarzanie danych

1. Wyznacz kąt θ między światłem padającym a odbitym za pomocą relacji:
   
   gdzie D jest odległością między pozycją spoczynkową drgającej płyty a ekranem świetlnym, w to amplituda drgań płyty, a L to długość plamki świetlnej na ekranie. Kilka par wartości D i L uzyskuje się w kroku 1.3.3.
2. Wyznacz nachylenie postaci mody zgodnie z wzorem:
   
   UWAGA: Uzyskane nachylenie jest zawsze dodatnie przy zastosowaniu równań (1) i (2).
3. Zastosuj znak minus pomiędzy dwoma punktami zerowymi, aby uzyskać rzeczywisty rozkład nachylenia.
   UWAGA: Nie ma znaczenia, czy korekta rozpoczyna się od pierwszego, czy od drugiego punktu zerowego.
4. Całkuj rozkład nachylenia każdej płyty i wyznacz stałą całkowania na podstawie węzłów, aby uzyskać postać mody za pomocą wzoru:
   
   UWAGA: Węzły odpowiadają największemu nachyleniu postaci mody. Jest to stała wyznaczana przez położenie linii węzłowych wzoru Chladniego przedstawionego na Rysunku 2.
5. Oblicz niepewność nachylenia¹² za pomocą wzoru:
   
   UWAGA: t_0.95(n – 2) to czynnik rozkładu t dla poziomu ufności 95% i stopni swobody n-2, który w tym przypadku wynosi około 2. S_r to błąd standardowy regresji liniowej dla D i L, U_m oznacza niepewność pomiaru odległości D_i, która tutaj wynosi 0,5 mm. Średnia odległość pomiarowa jest zdefiniowana wzorem , a n oznacza całkowitą liczbę pomiarów D_i.

Wyniki

Częstotliwość wzbudzenia, która pozwala uzyskać osiowo symetryczny wzór Chladniego, jest wyznaczana za pomocą testu sweepingu częstotliwości. Przebadano trzy okrągłe płyty akrylowe o średnicach 150 mm, 200 mm i 250 mm; wyniki wykazały, że częstotliwości rezonansowe osiowo symetryczne pierwszego rzędu dla tych trzech płyt wynoszą odpowiednio 346 Hz, 214 Hz i 150 Hz. Wyciągnięto wniosek, że wraz ze wzrostem średnicy płyta staje się bardziej elastyczna, a odpowiadająca jej częstotliwość rezonansowa ulega obniżeniu. Wzory Ch...

Dyskusja

Metoda dźwigni optycznej została przyjęta w tym artykule w celu określenia kształtu drgań płytki, ponieważ wzór Chladniego może pokazywać tylko linie węzłowe wibrującej płyty. Aby określić kształt drgań własnych płyty, należy wcześniej uzyskać zależność między nachyleniem i odległością ekranu świetlnego a długością plamki. Następnie, poprzez obliczenia całkowania określonego, można było ilościowo określić kształt drgań wzorca Chladniego.

Ogólnie rzecz biorąc, cały proces obecnego podejścia obe...

Materiały

Lista materiałów użytych w tym artykule

Nazwa	Firma	Numer katalogowy	Komentarze
Płyty akrylowe Fabryka	produktów do soczewek Dongguan Jinzhu Trzy		lustrzane okrągłe płyty akrylowe o grubości 1,0 mm i średnicy odpowiednio 150 mm, 200 mm i 250 mm. Łatwo się odkształcają.
Długopis laserowy	Deli Group	2802	Czerwony laser jest bardziej przyjazny dla widza. Im cieńsza wiązka laserowa, tym lepiej.
Jasny ekran	Północne szkło hartowane Niestandardowy sklep		szkle można umieścić kilka warstw matowych naklejek, aby uzyskać efekt matowego szkła.
Linijka	Deli Group	DL8015	Długość wynosi 1 m, a wartość podziału to 1 mm.
Generator sygnałów	Dayang Nauka Edukacja Taobao Sklep	TFG6920A	Dostępne są popularne w laboratoriach uniwersyteckich.
Wibrator	Dayang Nauka Edukacja Taobao Sklep		Maksymalna amplituda to 1,5 cm. Moc jest na tyle duża, że powoduje zauważalne zjawisko, gdy deska wibruje. W przeciwnym razie dodaj wzmacniacz mocy.

Taobao Na