1.3: Wektory w wielu kierunkach

1. Siły równowagi.

1. Na stole sił ustaw dwa koła pasowe o tej samej masie skierowane w przeciwnych kierunkach (różnica kątów 180°).
2. Siła każdego z nich będzie równa . Sprawdź, czy obie siły są równe i przeciwne, badając pierścień w środku tabeli sił, który nie powinien się poruszać.
3. Zauważ, że jeśli dodamy składowe wektorów skojarzonych z tymi siłami, wektor wynikowy będzie miał zerową wielkość. W ten sposób można ustalić, że wszystkie siły są w równowadze.

2. Obliczenia analityczne.

1. To laboratorium będzie składało się z trzech sił w równowadze. Znane będą dwie siły, natomiast trzecia zostanie wyznaczona – najpierw analitycznie, przy użyciu teorii wektorów, a następnie eksperymentalnie. W przypadku tego modułu utrzymuj na poziomie 0° przez cały czas trwania.
2. Zauważ, że jeśli i są znane, a po dodaniu do układu powoduje, że obie siły są w równowadze, to ma taką samą wielkość, ale w kierunku przeciwnym do sumy ( + ).
3. Oblicz wielkość i . Wykorzystaj fakt, że i że 1 Newton (N) jest jednostką siły równą .
4. Korzystając z teorii wektorów, oblicz, jaką wielkość miałaby , gdyby była sumą ( + ).
5. Korzystając z teorii wektorów, oblicz, jaki byłby kąt , gdyby był sumą ( + ).

3. Eksperymentuj.

1. Podążając za wartościami w pierwszym wierszu tabeli Tabela 1 dla i , ustaw dwie siły w tabeli sił. Pamiętaj, aby utrzymać na 0°.
2. Ustaw trzecią siłę, , dodając ciężarki i zmieniając kąt, aż do osiągnięcia równowagi. Zapisz te wartości w Tabela 2.
3. Powtórz krok 3.2 dla każdego z czterech przypadków.
4. Określ procentową różnicę w stosunku do wyniku analitycznego, obliczając . Uzupełnij Tabela 2 tymi obliczonymi wartościami.

Wektory to wielkości o skalarach zarówno wielkości, jak i kierunku, które mają tylko wielkość i znak.

Przykładami wektorów są siła, przyspieszenie i prędkość. Podczas gdy masa, energia i czas są przykładami skalarów.

Wektor jest zwykle reprezentowany przez strzałkę. Długość strzałki odpowiada jej wielkości, a kąt wskazuje kierunek.

Ten film pokaże układ sił, który można analizować za pomocą dodawania i odejmowania wektorów, oraz pokaże, w jaki sposób takie operacje dają wyniki, które są ważne dla zrozumienia kilku zjawisk fizycznych.

Do opisania wektora wymagany jest układ współrzędnych. W tym wybranym układzie odniesienia, ten przykład piłki kopniętej w powietrze ma wektor prędkości początkowej. Jak wyjaśniono wcześniej, długość strzałki reprezentuje wielkość prędkości. A kierunek wektora to jego kąt względem ziemi.

Każdy wektor można rozłożyć na komponenty, które same w sobie są wektorami wzdłuż osi x i y. Jeśli prędkość początkowa piłki wynosi 20 metrów na sekundę pod kątem 60 stopni, składową poziomą jest prędkość razy cosinus 60 stopni i wielkość 10 metrów na sekundę. Składowa pionowa to prędkość razy sinus 60 stopni i ma wielkość około 17,3 metra na sekundę.

Dodawanie wektorów składowych poziomych i pionowych rekonstruuje pierwotny wektor prędkości. Aby dodać wektory, wyobraź sobie, że umieszczasz głowę jednego z nich na ogonie drugiego. W tym przykładzie wektory są ustawione pod kątem prostym. Suma wynika z podróży bezpośrednio od ogona pierwszego do głowy drugiego.

Składowe te są ustawione pod kątem prostym, więc wielkość sumy jest określona przez twierdzenie Pitagorasa. Kąt jest arcus tangens składowej pionowej podzielony przez składową poziomą.

Dodając dwa wektory, które nie są prostopadłe, rozłóż każdy z nich na składowe x i y, a następnie dodaj odpowiednie komponenty. Na koniec oblicz sumę wektorową składowych poziomych i pionowych, jak wyjaśniono wcześniej. Odjęcie jednego wektora od drugiego jest równoznaczne z zanegowaniem drugiego wektora i dodaniem go do pierwszego. Tak jak poprzednio, rozłóż każdy wektor na składowe x i y. Następnie odejmij mniejszą składową x od większej i zrób to samo dla składowych y. Następnie, tak samo jak poprzednio, oblicz sumę wektorową wynikowych składowych x i y.

Aby zademonstrować dodawanie i odejmowanie wektorów w laboratorium fizycznym, powszechnie używanym sprzętem jest tabela sił. Jest to dysk z kątami zaznaczonymi na obwodzie, pierścień pośrodku przymocowany do sznurów z masami na drugim końcu zawieszonymi na kołach pasowych. Masy wytwarzają siły, które są wektorami do badania. Siła wzdłuż każdego sznura jest równa sile grawitacji lub mg w jednostkach niutonów.

Teraz, w tym układzie, jeśli są tylko dwie równe masy w odległości 180 stopni od siebie, to wytwarzają siły o sumie wektorowej zera. Ten stan nazywa się równowagą, co skutkuje zerowym przyspieszeniem, a zatem pierścień nie będzie się poruszał.

Ale jeśli dwie siły ciągnące pierścień nie znoszą się nawzajem, na przykład z powodu zmiany kąta, to niezerowa siła wypadkowa spowoduje ruch pierścienia. W takich przypadkach, jeśli znamy wielkości i kierunki tych sił, możemy użyć dodawania i odejmowania wektorów, aby obliczyć trzecią siłę potrzebną do przywrócenia równowagi.

W następnej sekcji pokażemy, jak przeprowadzić takie eksperymenty z tabelą sił, które testują teoretyczne zasady dodawania i odejmowania wektorów

Jeśli dwie siły są równe i przeciwne, pierścień w środku stołu nie powinien się poruszać. W tym przypadku każdy wektor siły dokładnie przeciwstawia się drugiemu pod względem wielkości i kierunku. Suma wektorów ma wielkość zerową, co jest warunkiem zerowej siły wypadkowej lub równowagi.

Aby sprawdzić poprawność zasad dodawania i odejmowania wektorów, należy ustawić masy i kąty dla sił A i B, jak wskazano w pierwszym wierszu tej tabeli. Utrzymuj kąt dla A na poziomie zero stopni. Teraz ustaw trzecią siłę, dodając masy i zmieniając kąt, aż pierścień przestanie się poruszać.

Po osiągnięciu równowagi oblicz siłę C, mnożąc jej masę przez przyspieszenie ziemskie. Zapisz również wielkość i kąt siły C.

Powtórz ten test dla trzech różnych przypadków i za każdym razem zapisuj wielkość i kąt siły C.

Dla czterech układów eksperymentalnych poniższa tabela przedstawia obliczone wielkości sił A i B oraz kąty B względem A. Używając pierwszego układu jako przykładu, możemy obliczyć siłę C potrzebną do ustalenia równowagi na stole.

Tutaj siła A ma wielkość gwiazdową 0,98 niutona przy 0?. Siła B ma tę samą wielkość 0,98 niutona, ale kąt 20°C. Aby wyznaczyć wektor dla C, należy rozłożyć siły A i B na ich składowe x i y. Uwaga: siła A jest skierowana tylko wzdłuż osi x i nie ma składowej y. Następnie dodaj składniki, aby uzyskać wektory x i y, które są sumą wektorów A i B.

Aby osiągnąć równowagę, składowe x i y C muszą być przeciwieństwem tych wektorów. Aby uzyskać wektor C, przesuń koniec jego składowej y do głowy składowej x. Następnie dodaj dwa wektory, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć wielkość wektora C. A kąt C jest arcus tangens składowej pionowej podzielony przez składową poziomą. W związku z tym obliczona wielkość gwiazdowa C okazuje się wynosić 1,93 niutona pod kątem 10? w odniesieniu do osi x.

Teraz podczas eksperymentu obliczamy C poprzez obserwację oraz próby i błędy, dostosowując ciężary i kąty, aby zapobiec ruchowi pierścienia na stole sił.

Poniższa tabela pokazuje, że wyniki eksperymentalne i obliczeniowe zarówno dla wielkości, jak i kąta są ściśle zgodne dla wszystkich czterech konfiguracji. Ta umowa sprawdza poprawność reprezentacji sił jako wektorów. Różnica może wynikać z ograniczeń w dokładności odważników, dokładności pomiaru kąta i nieuwzględnionych sił spowodowanych tarciem na stole sił i kołach pasowych.

Dodawanie i odejmowanie wektorów jest używane zarówno w prostych, jak i złożonych aplikacjach. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.

Podczas zwiedzania miasta takiego jak Nowy Jork odległość jest zwykle mierzona w blokach, a wskazówki to północ, południe, wschód i zachód.

Osoba idąca cztery przecznice na wschód i trzy przecznice na północ ulega zmianie położenia, która jest wielkością wektorową. Dlatego, stosując równania do dodawania wektorów, można obliczyć wielkość i kierunek wektora między punktem początkowym i końcowym spaceru.

Od chodzenia do latania: pilot nieustannie wykonuje mentalne dodawanie i odejmowanie wektorów, aby manewrować samolotem. Korzystając z klap i lotek skrzydeł, pilot może regulować siłę nośną w stosunku do grawitacji. Jeśli siła nośna jest większa niż siła grawitacji, płaszczyzna wznosi się. Jeśli siła nośna jest mniejsza niż siła grawitacji, opada.

Podobnie pilot używa silników do regulacji ciągu w stosunku do oporu. Jeśli ciąg jest większy niż opór, samolot przyspiesza. Jeśli ciąg jest mniejszy niż opór, zwalnia.

Gdy suma tych czterech sił jest równa zero, samolot jest w równowadze i leci ze stałą prędkością i wysokością.

Właśnie obejrzałeś wprowadzenie JoVE'a do wektorów. Powinieneś teraz wiedzieć, jak dodawać i odejmować wektory oraz rozumieć, jak pewne wielkości fizyczne zachowują się jako wektory. Dzięki za oglądanie!