$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
A linearização é uma técnica matemática utilizada para aproximar funções complexas e não lineares por modelos lineares mais simples na vizinhança de um ponto de referência escolhido. O método baseia-se na ideia de que, embora uma função possa ser difícil de avaliar exatamente, seu comportamento próximo a um valor de entrada específico pode, com frequência, ser aproximado com precisão pela reta tangente nesse ponto. Essa abordagem é particularmente útil quando pequenas variações em relação a um valor conhecido estão envolvidas.
Considere a função raiz quadrada, para a qual o valor para a entrada 4 é conhecido exatamente. Essa entrada serve como um ponto de referência conveniente, pois tanto o valor da função quanto sua taxa de variação são facilmente mensuráveis nesse ponto. No entanto, avaliar a função em uma entrada próxima, como 4,1, não é trivial sem ferramentas computacionais. A linearização resolve essa dificuldade substituindo a função original por sua reta tangente nas proximidades do ponto de referência.
A aproximação pela reta tangente é construída com base em três componentes: o valor da função na entrada de referência, a derivada da função nessa mesma entrada e a pequena variação na variável de entrada em relação ao ponto de referência. Em conjunto, esses elementos formam a fórmula de linearização,
\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}
que fornece uma estimativa do valor da função próximo à entrada de referência. Ao substituir a entrada próxima nessa expressão, obtém-se um valor aproximado sem avaliar diretamente a função não linear original.
No exemplo da raiz quadrada, primeiro calcula-se o valor da função e sua derivada na entrada de referência, e em seguida determina-se a diferença entre a nova entrada e a entrada de referência. A combinação dessas grandezas resulta em um valor estimado muito próximo da raiz quadrada verdadeira de 4,1. A pequena discrepância demonstra tanto a eficácia quanto as limitações da linearização. Este exemplo mostra como a linearização fornece aproximações precisas e eficientes quando as funções são difíceis de avaliar exatamente, desde que a entrada permaneça próxima ao ponto de referência escolhido.
