2.18
A linearização simplifica funções complexas e não lineares ao substituí-las por modelos lineares próximos a pontos de referência.
Por exemplo, considere uma função raiz quadrada cujo valor em uma entrada de 4 resulta em uma saída de 2. Essa entrada serve como ponto de referência. Mas quando a entrada é 4.1, a função raiz quadrada é difícil de avaliar exatamente.
Nesses casos, a linearização aproxima a função próxima a um ponto de referência usando a reta tangente nesse ponto. Essa reta tangente é definida pelo valor da função no ponto de referência mais o produto de sua derivada no ponto de referência e a pequena variação (x−a) a partir dela.
Para aproximar o valor em x igual a 4,1, essa expressão da linha tangente é usada.
Primeiro, o valor da função e sua derivada em a são calculados. Então, encontra-se a diferença entre x e a.
Combinando esses três termos, obtém-se um valor aproximado.
Essa estimativa corresponde de perto à raiz quadrada real de 4,1, com diferença mínima. Serve como um exemplo simples para mostrar como o método de linearização e aproximação funciona quando funções são complexas demais para serem avaliadas exatamente.
A linearização é uma técnica matemática utilizada para aproximar funções complexas e não lineares por modelos lineares mais simples na vizinhança de um ponto de referência escolhido. O método baseia-se na ideia de que, embora uma função possa ser difícil de avaliar exatamente, seu comportamento próximo a um valor de entrada específico pode, com frequência, ser aproximado com precisão pela reta tangente nesse ponto. Essa abordagem é particularmente útil quando pequenas variações em relação a um valor conhecido estão envolvidas.
Considere a função raiz quadrada, para a qual o valor para a entrada 4 é conhecido exatamente. Essa entrada serve como um ponto de referência conveniente, pois tanto o valor da função quanto sua taxa de variação são facilmente mensuráveis nesse ponto. No entanto, avaliar a função em uma entrada próxima, como 4,1, não é trivial sem ferramentas computacionais. A linearização resolve essa dificuldade substituindo a função original por sua reta tangente nas proximidades do ponto de referência.
A aproximação pela reta tangente é construída com base em três componentes: o valor da função na entrada de referência, a derivada da função nessa mesma entrada e a pequena variação na variável de entrada em relação ao ponto de referência. Em conjunto, esses elementos formam a fórmula de linearização,
\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}
que fornece uma estimativa do valor da função próximo à entrada de referência. Ao substituir a entrada próxima nessa expressão, obtém-se um valor aproximado sem avaliar diretamente a função não linear original.
No exemplo da raiz quadrada, primeiro calcula-se o valor da função e sua derivada na entrada de referência, e em seguida determina-se a diferença entre a nova entrada e a entrada de referência. A combinação dessas grandezas resulta em um valor estimado muito próximo da raiz quadrada verdadeira de 4,1. A pequena discrepância demonstra tanto a eficácia quanto as limitações da linearização. Este exemplo mostra como a linearização fornece aproximações precisas e eficientes quando as funções são difíceis de avaliar exatamente, desde que a entrada permaneça próxima ao ponto de referência escolhido.
A linearização simplifica funções complexas e não lineares ao substituí-las por modelos lineares próximos a pontos de referência.
Por exemplo, considere uma função raiz quadrada cujo valor em uma entrada de 4 resulta em uma saída de 2. Essa entrada serve como ponto de referência. Mas quando a entrada é 4.1, a função raiz quadrada é difícil de avaliar exatamente.
Nesses casos, a linearização aproxima a função próxima a um ponto de referência usando a reta tangente nesse ponto. Essa reta tangente é definida pelo valor da função no ponto de referência mais o produto de sua derivada no ponto de referência e a pequena variação (x−a) a partir dela.
Para aproximar o valor em x igual a 4,1, essa expressão da linha tangente é usada.
Primeiro, o valor da função e sua derivada em a são calculados. Então, encontra-se a diferença entre x e a.
Combinando esses três termos, obtém-se um valor aproximado.
Essa estimativa corresponde de perto à raiz quadrada real de 4,1, com diferença mínima. Serve como um exemplo simples para mostrar como o método de linearização e aproximação funciona quando funções são complexas demais para serem avaliadas exatamente.
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