10.3
Progressões Aritméticas
Uma sequência aritmética é uma lista de números em que cada termo aumenta ou diminui pelo mesmo número fixo, conhecido como diferença comum. Considere uma pilha de postes. A primeira camada contém 25 pólos e o número de pólos continua a diminuir em 1 em cada camada sucessiva.
Dado que a pilha tem 12 camadas, o objetivo é encontrar o número total de postes.
Esse arranjo forma uma sequência aritmética, pois o número de pólos diminui em uma quantidade constante de uma camada para a outra.
Nesse cenário, o número de pólos na 12ª camada é calculado usando a fórmula para o enésimo termo de uma sequência aritmética, com base no primeiro termo, na diferença comum e no número de camadas. Os valores desses termos são então substituídos na fórmula, que simplifica para 25 menos 11, dando 14 pólos na 12ª camada.
O número total de pólos na pilha, conhecido como soma parcial da sequência, é então calculado tomando a média do número de pólos na primeira e na última camadas e multiplicando-a pelo número total de camadas. É denominado uma soma parcial, uma vez que apenas os primeiros 12 termos da sequência são adicionados. Isso resulta em uma soma parcial de 12 multiplicada pela média de 25 e 14, resultando em 234 pólos.
Uma progressão aritmética é um arranjo estruturado de números no qual cada termo é obtido pela soma de um valor constante, conhecido como diferença comum, ao termo anterior. Esse padrão consistente permite o cálculo eficiente de qualquer termo da sequência, bem como a soma cumulativa de múltiplos termos. A fórmula para encontrar o enésimo termo de uma progressão aritmética é:
Aqui, a_n representa o enésimo termo da sequência, a é o primeiro termo, d é a diferença comum e n é o número ou posição do termo na sequência. Esta equação é essencial para determinar o valor de qualquer termo sem a necessidade de listar todos os termos anteriores. Para calcular a soma dos primeiros n termos, conhecida como soma parcial, utiliza-se uma das seguintes fórmulas:
Nessas expressões, S_n indica a soma dos primeiros n termos, e a_n novamente se refere ao enésimo termo, obtido utilizando a fórmula anterior. Essas fórmulas fornecem uma abordagem concisa e sistemática à análise de padrões numéricos regularmente espaçados em aplicações teóricas e práticas.
Uma sequência aritmética é uma lista de números em que cada termo aumenta ou diminui pelo mesmo número fixo, conhecido como diferença comum. Considere uma pilha de postes. A primeira camada contém 25 pólos e o número de pólos continua a diminuir em 1 em cada camada sucessiva.
Dado que a pilha tem 12 camadas, o objetivo é encontrar o número total de postes.
Esse arranjo forma uma sequência aritmética, pois o número de pólos diminui em uma quantidade constante de uma camada para a outra.
Nesse cenário, o número de pólos na 12ª camada é calculado usando a fórmula para o enésimo termo de uma sequência aritmética, com base no primeiro termo, na diferença comum e no número de camadas. Os valores desses termos são então substituídos na fórmula, que simplifica para 25 menos 11, dando 14 pólos na 12ª camada.
O número total de pólos na pilha, conhecido como soma parcial da sequência, é então calculado tomando a média do número de pólos na primeira e na última camadas e multiplicando-a pelo número total de camadas. É denominado uma soma parcial, uma vez que apenas os primeiros 12 termos da sequência são adicionados. Isso resulta em uma soma parcial de 12 multiplicada pela média de 25 e 14, resultando em 234 pólos.
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