Função de comprimento de arco

A função comprimento do arco mostra a distância total percorrida ao longo de uma curva suave de um ponto de partida fixo até um ponto final variável.

Para uma curva contínua e diferenciável, isso é encontrado somando pequenos segmentos lineares ao longo da curva. Esses segmentos aproximam a curva usando variações horizontais e verticais, semelhante à soma de Riemann.

À medida que o tamanho do segmento se aproxima de zero, a soma se torna uma integral que fornece o comprimento exato do arco.

Para expressar o comprimento do arco como função, uma variável fictícia é usada dentro da integral, permitindo que o limite superior varie.

O integrando contém a raiz quadrada de um mais o quadrado da derivada. Ele é sempre maior ou igual a um e aumenta à medida que a curva se torna mais íngreme, o que faz com que o comprimento do arco cresça mais rápido.

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo para diferenciar a função obtém a taxa de variação do comprimento do arco, que depende diretamente da inclinação da curva.

Por exemplo, ao instalar uma cerca de barreira rodoviária ao longo de uma estrada sinuosa, a função de comprimento de arco mede com precisão a distância do terreno, ajudando a evitar subestimação de materiais, custos e tempo de instalação.