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Structural Engineering

Dinâmica de Estruturas

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JoVE Science Education Structural Engineering

Dynamics of Structures

5.6: Buckling of Steel Columns

5.8: Fatigue of Metals

11,438 Views

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12:03 min

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April 30, 2023

Overview

Fonte: Roberto Leon, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Virginia Tech, Blacksburg, VA

É raro hoje em dia que um ano inteiro passa sem um grande evento de terremotos causando estragos em algum lugar do mundo. Em alguns casos, como o terremoto da Banda Ache em 2005 na Indonésia, os danos envolveram grandes áreas geográficas e baixas nos seis números. Em geral, o número e a intensidade dos terremotos não estão aumentando, no entanto, a vulnerabilidade do ambiente construído está aumentando. Com o aumento da urbanização não regulamentada em áreas sismicamente ativas, como o “cinturão de fogo” do Circum-Pacífico, o aumento do mar em área costeira de baixa colocação e o aumento das concentrações de produção/distribuição de energia e nós críticos da rede digital/de telecomunicações em áreas vulneráveis, é claro que o design resistente a terremotos é a chave para a resiliência futura da comunidade.

Projetar estruturas para resistir aos danos causados por terremotos progrediu muito nos últimos 50 anos, principalmente através do trabalho no Japão após o terremoto de Niigata de 1964, e nos Estados Unidos após o terremoto de San Fernando Valley em 1971. O trabalho avançou ao longo de três trilhas paralelas: (a) trabalho experimental que visa desenvolver técnicas de construção aprimoradas para minimizar danos e perdas de vidas; b Estudos analíticos baseados em modelos avançados de materiais geométricos e não lineares; e, (c) síntese dos resultados em (a) e (b) em disposições de código de projeto que melhoram a capacidade das estruturas de resistir a cargas inesperadas.

Testes sísmicos em um ambiente de laboratório são muitas vezes difíceis e caros. Os testes são realizados principalmente utilizando as seguintes três técnicas:

Testes quase estáticos (QST), onde partes de uma estrutura são testadas usando deformações laterais aplicadas lentamente e equivalentemente predeterminadas com condições de limite idealizadas. Esta técnica é particularmente útil para avaliar os efeitos do detalhamento estrutural sobre a dureza e capacidade de deformação de determinadas partes das estruturas.
Testes pseudo-dinâmicos (PSDT), onde as cargas também são aplicadas lentamente, mas os efeitos dinâmicos são levados em conta resolvendo as equações de movimento à medida que o teste progride e utilizando feedbacks de teste direto (principalmente a rigidez instantânea) para avaliar a rigidez real e características de amortecimento da estrutura.
Mesas deagitação , onde modelos de escala de estruturas completas são submetidos a movimentos de entrada usando uma base ou fundação acionada hidráulica. As mesas de agitação representam uma técnica de teste mais fiel, já que a estrutura não é artificialmente contida, a entrada é um verdadeiro movimento terrestre, e as forças resultantes são verdadeiramente inerciais, como seria de esperar em um terremoto real. No entanto, os requisitos de energia são enormes, e apenas algumas mesas de agitação capazes de trabalhar em quase grande escala existem em todo o mundo. Globalmente, há apenas uma grande mesa de agitação capaz de realizar testes em estruturas em larga escala, que é a mesa de agitação na instalação de Defesa E no Japão, construída após o terremoto de Kobe de 1985.

Neste experimento, utilizaremos uma pequena mesa de shake e estruturas de modelos para estudar as características dinâmicas de comportamento de alguns modelos estruturais. São essas características dinâmicas, principalmente a frequência natural e o amortecimento, bem como a qualidade do detalhamento estrutural e construção, que tornam as estruturas mais ou menos vulneráveis a terremotos.

Principles

Há uma diferença fundamental entre as cargas habituais de gravidade (auto-peso) que agem em uma estrutura, que são quase estáticas (ou seja, mudam muito lentamente, ou não com o tempo), e aquelas produzidas por furacões, explosões e terremotos, que são extremamente dinâmicos na natureza. No caso de furacões e outras cargas de vento, é possível modelar seus efeitos como pressões estáticas equivalentes em laboratório, pois a frequência dos ventos é muito longa em comparação com a frequência natural fundamental da estrutura típica. Exceções importantes para isso incluem estruturas flexíveis, como pontes de longo prazo e suspensão, mastros altos e estruturas de turbinas eólicas, onde a frequência natural da estrutura pode coincidir com a das rajadas de vento ou ventos retos. No caso de terremotos, as cargas são principalmente inerciais à medida que o solo se move, e a estrutura tende a ficar parada. Neste caso, o carregamento depende da massa real, rigidez e amortecimento da estrutura, e as quantidades de interesse são as acelerações, velocidades e deslocamentos ao redor da estrutura. Este segundo conjunto de quantidades é muito difícil de reproduzir com precisão no laboratório se as mesas de shake não estiverem disponíveis.

Usando a física básica, como a Segunda Lei de Newton, pode-se simplificar o problema do equilíbrio de uma estrutura (como uma ponte ou um quadro com feixe rígido), que está sujeita a movimentos de solo (u_g),ao de uma única massa de grau de liberdade(m)com rigidez(k)e características de amortecimento(c). Estes dois últimos podem ser representados por uma mola na qual a força é proporcional ao deslocamento(u),bem como um dashpot no qual as forças são proporcionais à velocidade (v) (Figura 1). Esses componentes podem ser combinados em séries paralelas e/ou para modelar diferentes configurações estruturais.

A rigidez é definida como a força necessária para deformar a estrutura por uma quantidade unitária. Suponha que se carregue um feixe cantilever com uma força conhecida(P) e meça sua deformação elástica na ponta ( ). A rigidez é definida como k = P/ . Para o simples sistema de cantilever elástico mostrado, k= L³/3EI, onde L é o comprimento do cantilever, eu sou o seu momento de inércia, e E é o módulo de Young para o material utilizado. Em seguida, imagine o que acontece se alguém remover a força de repente, permitindo assim que o cantilever vibrar. Uma intuitivamente esperará que a amplitude das vibrações comece a diminuir a cada ciclo. Esse fenômeno é chamado de amortecimento e refere-se a uma série de mecanismos internos complexos, como o atrito, que tendem a reduzir as oscilações. A quantificação do amortecimento é descrita mais tarde neste laboratório, mas é importante notar que, neste momento, não se sabe muito sobre esses mecanismos do ponto de vista teórico ou prático. Um conceito útil é visualizar o coeficiente crítico de amortecimento(c_cr),que corresponde ao caso em que o cantilever virá descansar após apenas uma oscilação completa.

Figura 1: Grau único de modelo de sistema de liberdade.

Escrever uma equação de equilíbrio horizontal de forças para o sistema retratado na Figura 1 leva a:

(Eq. 1)

Se olharmos para um caso mais simples por um momento, onde podemos ignorar o amortecimento porque seus efeitos são insignificantes, e não há função de força externa, a Equação 1 torna-se a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem:

(Eq. 2)

cuja solução é da forma:

(Eq. 3)

Diferenciar duas vezes nos dará:

(Eq. 4)

Substituindo a Equação 4 na Equação 2, rende:

(Eq. 5)

A solução geral é:

(Eq. 6)

Onde está a frequência natural não diminuída do sistema.

Se este sistema receber um deslocamento inicial ( ) e/ou uma velocidade inicial (), a Equação 6 se torna:

(Eq. 7)

Se adicionarmos o efeito do amortecimento(c)e definirmos, a frequência natural amortecido do sistema torna-se e o equivalente à Equação 7 é:

(Eq. 8)

Para o caso de um deslocamento inicial u₀, Figura 2 mostra o comportamento para vários valores de .

Figura 2: Efeito do amortecimento em vibrações livres: definição de amortecimento crítico (superior); cálculo do amortecimento do decréscimo logarítmico (menor).

Se na Figura 2, define-se , onde u_n e u_n+1 são o deslocamento em ciclos sucessivos, então:

(Eq. 9)

Voltando à Equação 1, se o movimento do solo for tomado como a função sinusoidal, o análogo da Equação 8 é:

(Eq. 10)

Onde está o atraso de fase, e R _a é o fator de resposta de amplificação, cujas parcelas são ilustradas na Figura 3. A Figura 3 mostra que para baixos valores de amortecimento ( <0.2), à medida que a frequência da função de força se aproxima da frequência natural do sistema, a resposta do sistema torna-se instável, fenômeno que é comumente referido como ressonância.

Figura 3: Resposta de deslocamento, velocidade e aceleração.

Neste laboratório, investigaremos experimentalmente os conceitos e derivações por trás das Equações 1-10 no contexto da dinâmica das estruturas usando uma mesa de agitação.

Procedure

1. Modelos

Primeiro construa várias estruturas utilizando feixes de alumínio muito finos, fortes, retangulares, T6011, 1/32 em largura e com comprimentos diferentes. Para construir o primeiro modelo, insira uma única cantilever com comprimento de 12 in. a um bloco de madeira muito rígido. Coloque uma massa de 0,25 lb. na ponta do cantilever.
Da mesma forma, construa outras estruturas de modelo anexando cantilevers com comprimentos diferentes ao mesmo bloco de madeira rígido. Conecte uma massa de 0,25 lbs. na ponta de cada cantilever.
Prepare dois outros espécimes simulando estruturas de quadros simples com colunas flexíveis e pisos rígidos. Estes podem ser construídos com placas de aço finas e diafragmas rígidos do assoalho acrílico. Uma estrutura será uma história e a outra será de duas andares. Os diafragmas do piso serão instrumentados com acelerômetros.

2. Aparelho

Para essas demonstrações será utilizada uma pequena mesa de mesa, eletricamente acionada, um único grau de shake de liberdade. O aparelho consiste basicamente de uma pequena mesa metálica montando em dois trilhos orientadores que são deslocados por um motor elétrico. O deslocamento é controlado digitalmente por um computador que pode inserir acelerações periódicas (ondas seno) ou aleatórias (históricos de tempo de aceleração pré-programadas do solo de terremoto). Todo o controle é através de software proprietário ou software do tipo MatLab e Si mulLink. A função de força de entrada pode ser verificada comparando-a com a saída de um acelerômetro ligado à tabela.

3. Procedimento

Monte cuidadosamente o modelo com várias cantilevers na mesa de agitação, usando parafusos ligados à base do modelo. Ligue a mesa de agitação e, usando o software, aumente lentamente a frequência até que a resposta máxima da estrutura seja obtida para cada cantilever. Observe que cada cantilever entra ressonância em uma determinada frequência. Registo em um notebook o valor dessa frequência. Continue aumentando a frequência até que os deslocamentos de todos os cantilevers reduzam significativamente.
Monte a estrutura do modelo de um andar na mesa de agitação e repita o procedimento. Varrer lentamente as frequências até que a ressonância seja alcançada. Reinicie o software para executar um típico histórico de tempo de aceleração do solo (1940 El Centro) para mostrar os movimentos aleatórios que ocorrem durante um terremoto.
Monte a estrutura de dois andares na mesa de agitação e repita o procedimento. Observe que duas frequências naturais ocorrem neste caso.

A dinâmica estrutural, ou a análise do comportamento da estrutura quando submetida a forças dinâmicas, é fundamental tanto para projetar edifícios capazes de resistir a terremotos e cargas de fadiga, quanto para proporcionar conforto aos ocupantes em estruturas sujeitas ao vento e outros tipos de cargas cíclicas.

Para desenvolver estratégias de projeto resilientes para as infraestruturas de nossas cidades, precisamos entender tanto o insumo, por exemplo, o movimento do solo durante a atividade sísmica, quanto a saída, ou a resposta estrutural dos edifícios. Esta questão só pode ser tratada através de uma abordagem analítica e experimental combinada.

Testes sísmicos em um ambiente de laboratório são realizados utilizando mesas de shake, onde modelos de escala de estruturas completas são submetidos a movimentos de entrada usando uma base acionada eletricamente ou hidráulica. Este método representa uma técnica de teste mais fiel, já que a estrutura não é artificialmente contida, e a entrada é o verdadeiro movimento do solo.

Este vídeo ilustrará os princípios da análise dinâmica usando uma mesa de shake e estruturas de modelo para estudar as características dinâmicas de comportamento de diferentes modelos estruturais.

As cargas habituais de auto-peso agindo em uma estrutura são quase estáticas porque mudam muito lentamente ou não com o tempo. Em contraste, cargas produzidas por furacões e explosões, por exemplo, são extremamente dinâmicas na natureza.

Durante um terremoto, o solo se move com certa aceleração, enquanto a estrutura tende a ficar parada. Como consequência, as cargas dinâmicas que atuam em uma estrutura são inerciais, e dependem da massa, rigidez e amortecimento da estrutura. Para resolver este problema de forma analiticamente, empregamos leis básicas de física e modelos simplificados das estruturas reais.

Por exemplo, tanto uma ponte quanto um quadro com feixe rígido podem ser simplificados para um único grau de sistema de liberdade, consistindo de um cantilever elástico com comprimento L e massa m, rigidez k e amortecimento c. Alternativamente, outro sistema modelo pode ser representado por uma massa presa a uma mola de k constante elástico, bem como um pote de traço com um coeficiente de amortecimento c. Esses componentes podem ser combinados em paralelo e em série para modelar diferentes configurações estruturais.

Para o nosso sistema de modelo de massa e mola, se o solo está movendo a força externa agindo neste sistema é proporcional com a aceleração do solo. As outras forças no sistema são a força elástica na mola, proporcional ao deslocamento, bem como a força de reação no vaso de traço, proporcional à velocidade.

Usando a Segunda Lei de Newton, podemos escrever a equação do equilíbrio horizontal das forças para este sistema. Na ausência de forças externas, e assumindo os efeitos de amortecimento como insignificantes, esta equação simplificada tem a seguinte solução:

Aqui, wn é a frequência natural não diminuída do sistema, e u0 é o deslocamento inicial. Se adicionarmos o efeito do amortecimento, a solução da equação do movimento é a seguinte. Aqui a frequência natural amortecida do sistema é expressa utilizando a frequência natural e o coeficiente de amortecimento.

O amortecimento efetivo nas oscilações livres do sistema resulta na diminuição da amplitude de vibrações a cada ciclo. Considerando os deslocamentos em dois ciclos sucessivos, podemos usar o delta do decréscimo logarítmico para calcular a zeta constante de amortecimento.

Se o movimento do solo for tomado como função sinusoidal, a solução para a equação do movimento é dada pela seguinte função. Aqui phi é o lag de fase, e R é o fator de resposta de amplificação.

Vamos traçar este fator versus relação frequência para diferentes valores do zeta do coeficiente de amortecimento. Para baixos valores de amortecimento, à medida que a frequência da função de força se aproxima da frequência natural do sistema, a resposta do sistema torna-se instável, fenômeno que é comumente referido como ressonância.

Agora que você entende os conceitos teóricos sobre o comportamento de um sistema elástico linear para cargas dinâmicas, vamos investigar esses conceitos usando uma mesa de agitação.

Primeiro, construa várias estruturas utilizando feixes de alumínio muito finos, fortes, retangulares, T6011, 1/32 de polegada de largura e com comprimentos diferentes. Para construir o primeiro modelo, insira uma única cantilever com comprimento de dezesseis polegadas para um bloco de madeira muito rígido. Coloque uma massa de 0,25 lb na ponta do cantilever.

Da mesma forma, construa três outras estruturas de modelo, anexando três cantilevers com comprimentos de 24, 32 e 36 polegadas ao mesmo bloco de madeira rígida. Conecte uma massa de 0,25 lb na ponta de cada cantilever. Utilizando placas de aço finas e diafragmas rígidos de piso acrílico instrumentados com acelerômetros, prepare dois outros espécimes simulando estruturas de quadros simples com colunas flexíveis e pisos rígidos.

Para essas demonstrações, será utilizada uma mesa de aperto eletricamente acionada com um único grau de liberdade. Um computador controla digitalmente o deslocamento da tabela e gera ondas seno periódicas ou acelerações aleatórias. A função de força de entrada pode ser verificada comparando-a com a saída de um acelerômetro ligado à tabela.

Primeiro, monte cuidadosamente as quatro estruturas cantilever na mesa de agitação usando parafusos ligados à base do modelo. Em seguida, ligue a mesa de agitação, e usando o software, aumente lentamente a frequência, até que a resposta máxima da estrutura seja obtida. Registo em um notebook o valor dessa frequência. Continue aumentando a frequência até que os deslocamentos de todos os cantilevers reduzam significativamente.

Agora, monte a estrutura do modelo de um andar na mesa de agitação e repita o procedimento. Varrer lentamente as frequências até que a ressonância seja alcançada. Em seguida, reinicie o software para executar um histórico típico de tempo de aceleração do solo para mostrar os movimentos aleatórios que ocorrem durante um terremoto. Substitua o modelo de um andar na mesa de aperto com a estrutura de dois andares e repita o procedimento. Observe que duas frequências naturais ocorrem neste caso. Registo em um notebook os valores dessas frequências.

Agora vamos realizar a análise de dados e discutir nossos resultados.

Primeiro, determinar a frequência em que ocorreu o deslocamento máximo para cada modelo. Para o caso de um feixe cantilever a massa equivalente é dada pela massa no topo, e a massa distribuída do feixe. A rigidez k é a recíproca do delta deformação, causada no topo do cantilever por uma força unitária, onde L é o comprimento do feixe e E é o módulo de elasticidade.

Aqui, eu sou o momento da inércia que pode ser facilmente calculado se a largura b e a espessura h do feixe são conhecidos. Coloque os dados em uma tabela e, em seguida, calcule as frequências circulares naturais. Com esses valores calcule os períodos de movimento previstos para os feixes cantilever testados.

Em seguida, olhe para a resposta de deslocamento versus tempo registrada neste experimento, e determine a partir dessas parcelas os períodos correspondentes de movimento do feixe cantilever. Adicione esses períodos medidos à mesa e compare-os com os valores teóricos.

As diferenças entre a teoria e o experimento se devem a várias fontes de erros. Primeiro, as vigas não estão rigidamente presas à base de madeira, e a flexibilidade adicional na base aumenta o período da estrutura. Em segundo lugar, o amortecimento não foi contabilizado nos cálculos porque o amortecimento é muito difícil de medir e dependente de amplitude.

Neste experimento registramos as histórias de deslocamento versus tempo do feixe quando a mesa de agitação foi submetida a uma deformação sinusoidal variada com uma amplitude inicial de uma polegada. A partir desses gráficos, extraia o valor máximo para cada frequência e plote a magnitude do deslocamento versus frequência normalizada.

Agora dê uma olhada no seu enredo. Inicialmente não houve muita resposta, pois a entrada de energia do movimento da tabela não excita o modelo. À medida que a frequência normalizada se aproxima, há um aumento muito significativo na resposta com as deformações se tornando bastante grandes. A resposta máxima chegou muito perto de uma. À medida que a frequência normalizada aumenta além de uma, a resposta dinâmica começa a diminuir. Um grande valor da frequência normalizada corresponde à situação em que a carga é aplicada muito lentamente em relação à frequência natural do cantilever e a deformação deve tornar-se igual à de uma carga aplicada estaticamente.

A dinâmica estrutural é amplamente utilizada no projeto e análise de edifícios, produtos e equipamentos em muitas indústrias.

Projetar estruturas resistentes a danos causados por terremotos progrediu muito nos últimos 50 anos. Atualmente, os resultados do trabalho experimental, bem como dos estudos analíticos, são corroborados em disposições de código de projeto que melhoram a capacidade das estruturas de resistir a cargas inesperadas durante um evento sísmico.

Uma resposta dinâmica facilmente observável de uma estrutura para cargas de vento é a de semáforos cantilevered. À medida que o vento flui sobre a estrutura, o regime de vento é perturbado e vórtices são gerados através de um fenômeno conhecido como derramamento de vórtice. Estes vórtices induzem forças perpendiculares à direção do vento, resultando em um deslocamento vertical cíclico do braço cantilevered, e como consequência, dano potencial de fadiga da estrutura.

Você acabou de assistir a Introdução da JoVE à Dinâmica das Estruturas. Agora você deve entender os princípios teóricos que regem o comportamento de uma estrutura submetida a cargas dinâmicas. Você também deve saber como usar uma mesa de shake para realizar uma análise dinâmica de uma estrutura de modelo.

Obrigado por assistir!

Results

Primeiro, determine a frequência (ω) na qual ocorreu o deslocamento máximo para cada modelo. A fórmula simples original discutida acima, precisa ser modificada porque a massa do próprio feixe ( m_b = Feixe W /g), que é distribuída sobre sua altura, não é insignificante em comparação com a massa na parte superior (m =_BlocoW /g). A massa equivalente para o caso de um feixe de cantilever é (m+0,23m_b), onde m é a massa na parte superior e m_b é a massa distribuída da viga. A rigidez k é dada pela recíproca da deformação ( ) causada no topo do cantilever por uma força unitária:

(Eq. 11)

onde L é o comprimento do feixe, E é o módulo da elasticidade, e eu sou o momento da inércia. Eu sou dado por , onde b é a largura e h é a espessura do feixe. Assim, a frequência circular natural de um feixe cantilever, incluindo seu auto-peso é:

(Eq.12)

Com base nesta equação, as frequências naturais previstas são calculadas na Tabela 1.

Número de feixe	Comprimento (in)	Largura (in.)	Grosso. (in.)	Eu (in.4)	E (ksi)	Peso (lbs)	Peso do feixe (lbs.)	Massa eficaz (lbs-sec.2/in)	Frequência natural (ciclos por segundo)
1	12.0	1.002	0.124	1.59E-04	10200	0.147	0.149	4.70E-04	2.45
2	16.0	1.003	0.124	1.59E-04	10200	0.146	0.199	4.97E-04	1.55
3	20.0	1.002	0.125	1.63E-04	10200	0.146	0.251	5.28E-04	1.09
4	24.0	1.003	0.125	1.63E-04	10200	0.148	0.301	5.63E-04	0.80
5	28.0	1.001	0.125	1.63E-04	10200	0.144	0.350	5.82E-04	0.62
6	32.0	1.000	0.124	1.59E-04	10200	0.146	0.397	6.15E-04	0.49
7	36.0	1.002	0.126	1.67E-04	10200	0.147	0.455	6.52E-04	0.41
8	40.00	1.000	0.125	1.63E-04	10200	0.148	0.500	6.81E-04	0.34

Tabela 1: Frequências naturais dos feixes cantilever testados.

Os valores medidos e teóricos da frequência normal para nossos sistemas de modelo são comparados na Tabela 2. As frequências naturais reais foram calculadas deslocando cuidadosamente o feixe cantilever por 1 polegada e, em seguida, olhando para o deslocamento versus resposta de tempo. A comparação abaixo é feita em termos de períodos (T_{d ,}in sec.) como estes foram determinados a partir de T_d= u₀-u₁, como mostrado na Figura 2(b). Isso requer cuidado e paciência para obter resultados confiáveis. As demonstrações mostradas foram apenas para dar uma ilustração geral do comportamento do sistema.

Número de feixe	Frequência natural (ciclos por segundo)	Período previsto (seg.)	Período real (seg.)	Erro (%)
1	2.45	2.56	2.65	-3.33%
2	1.55	4.06	4.23	-4.22%
3	1.09	5.78	6.79	-17.52%
4	0.80	7.84	8.04	-2.54%
5	0.62	10.06	10.63	-5.70%
6	0.49	12.79	13.04	-1.97%
7	0.41	15.32	16.78	-9.50%
8	0.34	18.59	20.56	-10.59%

Mesa 2. Comparação de resultados.

As diferenças decorrem principalmente do fato de que as vigas não estão rigidamente presas à base de madeira, e a flexibilidade adicional na base aumenta o período da estrutura. Outra fonte de erro é que o amortecimento não foi contabilizado nos cálculos, pois o amortecimento é muito difícil de medir e amplitude dependente.

Em seguida, a partir de cada um dos históricos de deslocamento versus tempo, extrair o valor máximo para cada frequência e traçar a magnitude do deslocamento versus frequência normalizada como essa na Figura 3. Um exemplo é mostrado na Figura 4, onde normalizamos a frequência versus a primeira frequência natural (Feixe Número 1) e traçamos o deslocamento máximo desse feixe quando a mesa de shake foi submetida a uma deformação sinusoidal variada com amplitude de 1 in.

Figura 4: Deformação do feixe #1 versus frequência de tabela normalizada.

Inicialmente, quando a razão de ω/ω_n é pequena, não há muita resposta, pois a entrada de energia do movimento da tabela não excita o modelo. À medida que ω/ω_n se aproxima 1, há um aumento muito significativo na resposta, com as deformações se tornando bastante grandes. A resposta máxima é alcançada quando ω/ω_n está muito perto de 1. À medida que a frequência normalizada aumenta além de ω/ω_n = 1, a resposta dinâmica começa a morrer; quando ω/ω_nse torna grande estamos em uma situação onde a carga está sendo aplicada muito lentamente em relação à frequência natural da estrutura, e a deformação deve tornar-se igual a essa a partir de uma carga estaticamente aplicada.

A intenção desses experimentos é principalmente mostrar as mudanças de comportamento qualitativamente, como mostrado nas demonstrações para as estruturas de dois quadros. A obtenção de resultados semelhantes aos das Figuras 3 e 4 requer muito cuidado e paciência, pois fontes de atrito e similares afetarão a quantidade de amortecimento e, assim, deslocarão as curvas semelhantes às da Figura 3(c) para a esquerda ou para a direita como a frequência amortecido real, altera.

Applications and Summary

Neste experimento, a frequência natural e o amortecimento de um sistema cantilever simples foram medidos por meio de mesas de shake. Embora o conteúdo de frequência de um terremoto seja aleatório e cubra uma grande largura de banda de frequências, espectros de frequência podem ser desenvolvidos traduzindo o histórico de tempo de aceleração para o domínio de frequência através do uso de transformações fourier. Se as frequências predominantes do movimento do solo coincidirem com as da estrutura, é provável que a estrutura sor tenha grandes deslocamentos e, consequentemente, esteja exposta a grandes danos ou mesmo colapso. O projeto sísmico analisa os níveis de aceleração esperados formam um terremoto em um determinado local com base em registros históricos, distância à fonte do terremoto, o tipo e tamanho da fonte do terremoto, e a atenuação das ondas de superfície e corpo para determinar um nível razoável de aceleração a ser usado para o design.

O que o público em geral muitas vezes não percebe é que as disposições atuais de projeto sísmico visam apenas minimizar a probabilidade de colapso e perda de vidas no caso de um terremoto de credibilidade máxima ocorrer a um nível aceitável (em torno de 5% a 10% na maioria dos casos). Embora projetos estruturais para obter menores probabilidades de falha sejam possíveis, eles começam a se tornar pouco econômicos. Minimizar perdas e melhorar a resiliência após tal evento não são explicitamente considerados hoje, embora tais considerações estejam se tornando mais comuns, pois muitas vezes o conteúdo de um edifício e sua funcionalidade podem ser muito mais importantes do que sua segurança. Considere, por exemplo, o caso de uma usina nuclear (como Fukushima no Grande Terremoto de Kanto de 2011), um edifício residencial de dez andares em Los Angeles, ou uma instalação de fabricação de chips de computador no Vale do Silício e sua exposição e vulnerabilidade a eventos sísmicos.

No caso da usina nuclear, pode ser desejável projetar a estrutura para minimizar qualquer dano, dado que a consequência de uma falha mínima pode ter consequências muito terríveis. Neste caso, devemos tentar localizar esta instalação o mais longe possível das fontes de terremotos para minimizar a exposição, pois minimizar a vulnerabilidade ao nível desejado é muito difícil e caro. A realidade é que é proibitivamente caro fazer isso dado o desejo do público de evitar não apenas um incidente do tipo Fukushima, mas também um mais limitado, como o desastre nuclear na Ilha Three Mile.

Para o edifício de vários andares em Los Angeles, é mais difícil minimizar a exposição porque uma grande rede de falhas sísmicas com períodos de retorno um tanto desconhecidos está por perto, incluindo a Falha de San Andreas. Neste caso, a ênfase deve ser no design robusto e no detalhamento para minimizar a vulnerabilidade da estrutura; os proprietários das residências devem estar conscientes de que estão correndo um risco significativo caso ocorra um terremoto. Eles não devem esperar que o prédio desmorone, mas o edifício pode ser uma perda completa se o terremoto for de grande magnitude suficiente.

Para a fábrica de chips de computador, os problemas podem ser completamente diferentes porque a estrutura em si pode ser bastante flexível e fora da faixa de frequência do terremoto. Assim, a estrutura não pode sofrer nenhum dano; no entanto, seu conteúdo (equipamento de fabricação de chips) pode ser severamente danificado, e a produção de chips pode ser interrompida. Dependendo do conjunto específico de chips que estão sendo fabricados na instalação, os danos econômicos tanto para o proprietário da instalação quanto para a indústria como um todo podem ser tremendos.

Esses três exemplos ilustram por que é preciso desenvolver estratégias de design resilientes para nossa infraestrutura. Para alcançar esse objetivo precisamos entender tanto a entrada (movimento do solo) quanto a saída (resposta estrutural). Esta questão só pode ser tratada através de uma abordagem analítica e experimental combinada. O primeiro é refletido nas equações listadas acima, enquanto o segundo só pode ser alcançado através do trabalho experimental feito através de abordagens quase estáticas, pseudo-dinâmicas e de mesa de agitação.

Transcript

Structural dynamics, or the analysis of structure’s behavior when subjected to dynamic forces, is critical both for designing buildings able to resist earthquake and fatigue loads, and for providing occupant comfort in structures subjected to wind and other types of cyclic loads.

In order to develop resilient design strategies for our cities’ infrastructures, we need to understand both the input, for example, the ground motion during seismic activity, and the output, or the structural response of the buildings. This issue can only be addressed through a combined analytical and experimental approach.

Seismic testing in a laboratory setting is carried out using shake tables, where scale models of complete structures are subjected to input motions using an electrically or hydraulically actuated base. This method represents a more faithful testing technique, as the structure is not artificially restrained, and the input is true ground motion.

This video will illustrate the principles of dynamic analysis by using a shake table and model structures to study the dynamic behavior characteristics of different structural models.

The usual self weight loads acting on a structure are quasi static because they change very slowly or not at all with time. In contrast, loads produced by hurricanes and blasts, for example, are extremely dynamic in nature.

During an earthquake, the ground moves with certain acceleration while the structure tends to stay still. As a consequence, the dynamic loads acting on a structure are inertial, and they depend on the mass, stiffness, and damping of the structure. To solve this problem analytically, we employ basic physics laws and simplified models of the actual structures.

For example, both a bridge and a frame with rigid beam can be simplified to a single degree of freedom system, consisting of an elastic cantilever with length L and mass m, stiffness k, and damping c. Alternatively, another model system can be represented by a mass attached to a spring of elastic constant k, as well as a dash pot with a damping coefficient c. These components can be combined in parallel and in series to model different structural configurations.

For our mass and spring model system, if the ground is moving the external force acting on this system is proportional with the ground acceleration. The other forces in the system are the elastic force in the spring, proportional to the displacement, as well as the reaction force in the dash pot, proportional to the velocity.

Using Newton’s Second Law, we can write the equation of horizontal equilibrium of forces for this system. In the absence of external forces, and assuming the damping effects as negligible, this simplified equation has the following solution:

Here, wn is the undamped natural frequency of the system, and u0 is the initial displacement. If we add the effect of damping, the solution of the equation of motion is the following. Here the damped natural frequency of the system is expressed using the natural frequency and the damping coefficient.

The effective damping on the free oscillations of the system results in the decrease of the amplitude of vibrations with every cycle. Considering the displacements in two successive cycles, we can use the logarithmic decrement delta to calculate the damping constant zeta.

If the ground motion is taken as sinusoidal function, the solution for the equation of motion is given by the following function. Here phi is the phase lag, and R is the amplification response factor.

Let’s plot this factor versus frequency ratio for different values of the damping coefficient zeta. For low values of damping, as the frequency of the forcing function approaches the natural frequency of the system, the response of the system becomes unstable, a phenomenon that is commonly referred to as resonance.

Now that you understand the theoretical concepts regarding the behavior of a linear elastic system to dynamic loads, let’s investigate these concepts using a shake table.

First, construct several structures using very thin, strong, rectangular, T6011 aluminum beams, 1/32 of an inch in width, and having different lengths. To build the first model, insert one single cantilever with length of sixteen inches to a very rigid wood block. Place a mass of 0.25 lb on the tip of the cantilever.

Similarly, build three other model structures by attaching three cantilevers with lengths of 24, 32, and 36 inches to the same rigid wood block. Attach a 0.25 lb mass to the tip of each cantilever. Using thin steel plates and rigid acrylic floor diaphragms instrumented with accelerometers, prepare two other specimens simulating simple frame structures with flexible columns and rigid floors.

For these demonstrations, a table top electrically actuated shake table with a single degree of freedom will be used. A computer digitally controls the table displacement and generates periodic sine waves or random accelerations. The input forcing function can be checked by comparing it to the output of an accelerometer attached to the table.

First, carefully mount the four cantilever structures to the shake table using bolts attached to the model’s base. Then turn on the shake table, and using the software, slowly increase the frequency, until the maximum response of the structure is obtained. Record in a notebook the value of this frequency. Continue increasing the frequency until the displacements of all the cantilevers reduce significantly.

Now, mount the one-story model structure to the shake table and repeat the procedure. Slowly sweep through frequencies until resonance is reached. Next, reset the software to run a typical ground acceleration time history to show the random motions that occur during an earthquake. Replace the one-story model on the shake table with the two story structure, and repeat the procedure. Note that two natural frequencies occur in this case. Record in a notebook the values of these frequencies.

Now let’s perform the data analysis and discuss our results.

First, determine the frequency at which the maximum displacement occurred for each model. For the case of a cantilever beam the equivalent mass is given by the mass at the top, and the distributed mass of the beam. The stiffness k is the reciprocal of the deformation delta, caused at the top of the cantilever by a unit force, where L is the length of the beam and E is the modulus of elasticity.

Here, I is the moment of inertia that can be easily calculated if the width b and the thickness h of the beam are known. Place data in a table and then calculate the natural circular frequencies. With these values calculate the predicted periods of motion for the cantilever beams tested.

Next, look at the displacement versus time response recorded in this experiment, and determine from these plots the corresponding periods of motion of the cantilever beam. Add these measured periods to the table and compare them with the theoretical values.

The differences between the theory and experiment are due to several sources of errors. First, the beams are not rigidly attached to the wooden base, and the added flexibility at the base increases the period of the structure. Second, the damping was not accounted for in the calculations because damping is very difficult to measure and amplitude-dependent.

In this experiment we recorded the displacement versus time histories of the beam when the shake table was subjected to a varying sinusoidal deformation with an initial one inch amplitude. From these graphs, extract the maximum value for each frequency, and plot the magnitude of the displacement versus normalized frequency.

Now take a look at your plot. Initially there was not much response, as the energy input from the table motion does not excite the model. As the normalized frequency approaches one, there is a very significant increase in the response with the deformations becoming quite large. The maximum response has reached very close to one. As the normalized frequency increases beyond one, the dynamic response begins to die down. A large value of the normalized frequency corresponds to the situation where the load is applied very slowly with respect to the natural frequency of the cantilever and the deformation should become equal to that from a statically applied load.

Structural dynamics is widely used in the design and analysis of buildings, products, and equipment across many industries.

Designing structures resilient to earthquake damage has progressed greatly in the last 50 years. Nowadays the results from the experimental work, as well as from the analytical studies, are corroborated into design code provisions that improve the ability of structures to resist unexpected loads during a seismic event.

One easily observable dynamic response of a structure to wind loads is that of cantilevered traffic lights. As the wind flows over the structure, the wind regime is disturbed and vortices are generated through a phenomenon known as vortex shedding. These vortices induce forces perpendicular to the wind direction, resulting in a cyclic vertical displacement of the cantilevered arm, and as a consequence, potential fatigue damage of the structure.

You’ve just watched JoVE’s Introduction to the Dynamics of Structures. You should now understand the theoretical principles governing the behavior of a structure subjected to dynamic loads. You should also know how to use a shake table to perform a dynamic analysis of a model structure.

Thanks for watching!

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