Вариация: нормальное распределение, диапазон и стандартное отклонение

Во время проекта по сбору данных студент заинтересован в том, чтобы собрать данные о росте взрослых мужчин в своем городе.

По возвращении в класс ученики строят график частоты роста в выборочной совокупности. Полученная кривая имеет форму колокола, в центре которой находится среднее значение.

В то время как одна точка данных, такая как среднее значение, имеет решающее значение для анализа этих результатов, не менее важна и вариация. Определяемая как дисперсия измерений в наборе данных, эта величина описывает разброс результатов, давая представление о расстоянии между точками.

Кроме того, график симметричен, причем половина людей демонстрирует рост выше среднего, а половина ниже среднего. Это называется нормальным распределением или кривой.

Чтобы оценить вариацию, они сначала вычисляют диапазон результатов, который представляет собой разницу между самой высокой и самой низкой высотой.

Хотя диапазон описывает разброс данных, на него могут сильно влиять выбросы, такие как самый высокий баскетболист школы, и он не объясняет, как измерения расположены вокруг среднего значения.

Чтобы решить эту проблему, учащийся использует уравнение для вычисления второго калибра вариации, называемого стандартным отклонением — средней величины, на которую измерения отличаются от среднего.

Здесь стандартное отклонение составляет два с половиной дюйма, поэтому самцы в среднем на два с половиной дюйма ниже или выше среднего. Основываясь на свойствах нормального распределения, в пределах этого одного отрицательного и положительного стандартного отклонения 68% особей будут падать.

Это число увеличится до 95% при двух стандартных отклонениях — здесь на пять дюймов выше или ниже среднего роста — и до 99,7% при трех стандартных отклонениях. Важно отметить, что чем меньше стандартное отклонение, тем более плотно результаты кластеризуются вокруг среднего, что дает высокую и узкую нормальную кривую.

Таким образом, если набор данных имеет небольшое стандартное отклонение, он будет иметь низкую вариацию. Таким образом, средние значения для измерений с низкой вариабельностью с большей вероятностью будут надежным представлением выборочной совокупности, чем те, которые получены из результатов с высокой вариабельностью, на которые могут непропорционально влиять выбросы.