Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа

В векторной нотации электрическое поле выражается как отрицательный градиент электрического потенциала. Здесь градиент потенциала всегда указывает на самое крутое уменьшение потенциала, а его решение дает вектор — электрическое поле.

Согласно дифференциальной форме закона Гаусса, градиент электрического поля равен отношению плотности объемного заряда к диэлектрической проницаемости в свободном пространстве.

Подстановка градиента потенциала в закон Гаусса дает выражение для уравнения Пуассона. Здесь расхождение градиента скалярного потенциала является оператором Лапласа, приводящим к скалярной функции.

Лапласиан аналогичен дифференцированию скалярных величин второго порядка. Для электрического потенциала он ниже, когда он близок к локальным минимумам, и выше, когда близок к локальным максимумам.

Когда вложенный объемный заряд равен нулю, уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет уникальное решение в заданном объеме, если потенциал на границе поверхности указан, заданный первой теоремой об уникальности.