13.9: Критерий ранговой суммы Вилкоксона

Критерий ранговой суммы Вилкоксона, также известный как U-критерий Манна-Уитни, представляет собой непараметрический тест, используемый для определения существенной разницы между распределениями двух независимых выборок. Этот тест разработан специально для двух независимых популяций и имеет следующие ключевые требования:

1. Образцы должны быть выбраны случайным образом.
2. Данные должны быть порядковыми или иметь возможность преобразования в порядковую шкалу, что позволяет упорядочивать и ранжировать значения.

Нулевая гипотеза состоит в том, что медиана распределений двух популяций идентична, а альтернативная гипотеза заключается в том, что распределения двух популяций различны. Кроме того, нет никаких предположений о том, что образцы распределены нормально. В этом тесте, когда две выборки выбираются из двух идентичных популяций и ранжируются как один пул точек данных, ожидается, что их медианы будут различаться, если в одну из выборок преимущественно попадают меньшие или большие ранги.

Для выполнения критерия ранговой суммы Вилкоксона, также известного как U-критерий Манна-Уитни, данные из обеих выборок объединяются в единый ранжированный список, где каждому значению присваивается ранг от наименьшего к наибольшему. Если какие-либо значения равны, им присваивается среднее значение рангов для этих должностей. Затем ранги разделяются на соответствующие группы, и для каждой группы вычисляется сумма рангов.

Тестовая статистика (обозначаемая U в U-версии Манна-Уитни) выводится из этих ранговых сумм, и ее значимость оценивается для определения того, есть ли разница между двумя выборками. Значимый результат свидетельствует о том, что одна выборка систематически имеет более высокие или более низкие ранги, что указывает на разницу в базовых распределениях двух популяций. Для небольших размеров выборки (обычно n<20) используются критические значения для U из таблицы, в то время как для больших выборок применяется аппроксимация z-оценки, предполагающая нормальное распределение. Этот тест особенно полезен, когда предположения для двухвыборочного t-критерия не выполняются, например, с порядковыми или ненормально распределенными данными, предлагая надежную альтернативу для оценки различий между двумя независимыми группами.

Когда размер выборки достаточно велик, этот тест обычно более эффективен, чем его параметрический аналог, и, следовательно, более предпочтителен для анализа данных. Значимость, проверенная с помощью критерия ранговой суммы Вилкоксона, обычно надежна, несмотря на наличие выбросов в данных. Тем не менее, тест также подвержен более высокой ошибке первого рода, когда данные либо смещены, гетероскедастические (имеют различную дисперсию), либо когда распределение данных/выборки чрезвычайно далеко от нормального распределения.