30.15: Дифференциальная форма уравнений Максвелла

Джеймс Клерк Максвелл (1831-1879) был одним из значимых учёных XIX века. Он, вероятно, наиболее известен тем, что объединил существующие знания о законах электричества и магнетизма с своими идеями, чтобы сформировать полную, всеобъемлющую электромагнитную теорию, представленную уравнениями Максвелла. Четыре основных закона электричества и магнетизма были открыты экспериментально благодаря работе физиков, таких как Эрстед, Кулон, Гаусс и Фарадей. Максвелл обнаружил логические несоответствия в этих ранних результатах и идентифицировал неполные законы Ампера как их причину. Уравнения Максвелла и закон Лоренца описывают все законы электричества и магнетизма.

Интегральные формы уравнений Максвелла содержат всю информацию обо взаимосвязи между полевыми и исходными величинами в заданной области пространства. Однако эти уравнения не позволяют изучать взаимодействие между векторами полей и их взаимосвязь с плотностями источников в отдельных точках. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме могут быть получены путём применения интегральных уравнений Максвелла к бесконечно малым замкнутым путям, поверхностям и объёмам, так что предел сжимается до точек. Дифференциальные уравнения связывают пространственные вариации векторов электрического и магнитного поля в заданной точке с их временными вариациями.

Более того, дифференциальная форма уравнений Максвелла также связывает пространственные вариации обоих полей с плотностями зарядов и токов в заданной точке. Группировка термов электрических и магнитных полей на одной стороне и источников, создающих эти поля, на другой, предполагает, что заряды и токи создают все электромагнитные поля. Уравнения Максвелла показывают, что заряды создают электромагнитные поля, а законы сил утверждают, что поля воздействуют на заряды.

Четыре уравнения Максвелла объясняют основы электромагнетизма.

Применение теоремы о дивергенции к закону Гаусса и переписывание вложенного заряда в терминах полной плотности заряда дает дифференциальную форму закона Гаусса.

Аналогично, применение теоремы о дивергенции к закону Гаусса для магнитного поля дает дифференциальную форму закона Гаусса в магнетизме.

Более того, перестановка закона Фарадея и применение к нему теоремы Стока дает закон Фарадея в дифференциальной форме.

Рассмотрим уравнение Ампера-Максвелла, в котором замкнутый ток может быть выражен в терминах интеграла плотности тока.

Теперь, переставляя члены и применяя к ним теорему Стока, мы получаем дифференциальную форму уравнения Ампера-Максвелла.

Группировка членов электрических и магнитных полей с одной стороны и источников, создающих эти поля, с другой стороны, предполагает, что все электромагнитные поля порождаются зарядами и токами.

Интегральная форма уравнения Максвелла применима к полям в области, содержащей заряд или ток, тогда как дифференциальная форма применяется в данной точке с плотностями заряда и тока.