Цепь RLC как затухающий осциллятор

Рассмотрим дифференциальное уравнение RLC-схемы. По аналогии с затухающим гармоническим осциллятором решение уравнения RLC-контура задается экспоненциальной функцией.

Дважды дифференцируя решение с течением времени и подставляя фактор сопротивления и частоту колебаний, мы получаем квадратное уравнение с двумя возможными решениями.

Их сумма дает окончательное решение уравнения RLC-схемы.

Рассмотрим случай с недостаточным демпфированием, в котором коэффициент сопротивления меньше частоты колебаний. В этом случае решение становится воображаемым.

При подстановке мнимого члена получено комплексное решение схемы с недостаточным демпфированием RLC. Используя формулу Эйлера, уравнение упрощается.

Чтобы уравнение было действительным, A₁ и A₂ должны быть комплексными сопряженными друг с другом, что еще больше упрощает решение.

Выражая коэффициенты в терминах амплитуды заряда и подставляя фактор сопротивления, получается окончательное решение для генератора RLC с недостаточным демпфированием.

Здесь ω' и Φ представляют угловую частоту и фазовый угол контура RLC с недостаточным демпфированием, соответственно.