Теоремы Паппуса и Гульдина

Папп и Гульдин разработали теоремы, чтобы найти площадь поверхности и объем любого тела вращения.

Чтобы получить площадь поверхности, поверните плоскую кривую известной длины вокруг оси x.

Рассмотрим элемент дифференциальной линии. При вращении он генерирует кольцо, которое интегрируется для получения всей площади поверхности.

Первая теорема гласит, что площадь поверхности вращения является произведением длины порождающей кривой на расстояние, которое проходит центроид кривой при создании поверхности.

Аналогично, чтобы найти объем вращения, плоская область вращается вокруг непересекающейся оси.

Рассмотрим дифференциальную область, генерирующую объемный элемент при вращении. Затем дифференциальный объем интегрируется для определения всего объема.

Вторая теорема гласит, что объем тела вращения является произведением порождающей площади и расстояния, которое проходит центроид этой области при создании объема.

В обоих случаях формула изменяется соответствующим образом, если вращение происходит только через угол.