Линейный, поверхностный и объемный интегралы.

Линейный интеграл определяется как интеграл от скалярного произведения векторной функции с бесконечно малым вектором смещения, выполненным по заданной траектории.

Например, линейный интеграл вектора силы дает работу.

Поверхностный интеграл — это интеграл от скалярного произведения векторной функции с вектором бесконечно малой площади, проведенной по заданной поверхности.

Вектор площади направлен перпендикулярно его поверхности.

Рассмотрим векторную функцию, которая является произведением плотности и скорости жидкости. Поверхностный интеграл этого вектора вычисляет его поток через поверхность.

Интегралы по линии и поверхности уменьшаются до замкнутого или замкнутого интеграла поверхности, когда траектория или поверхность замкнуты.

Интеграл от произведения скалярной функции на бесконечно малый объем является интегралом по объему.

Например, интеграл по объему функции плотности дает общую массу.

Когда скалярная функция в интеграле по объему заменяется векторной функцией, она сводится к комбинации интегралов скалярных функций.