15.5: Частота системы масса-пружина

Одна интересная характеристика гармонического движения (ГД) объекта, прикреплённого к пружине, заключается в том, что угловая частота, период и частота движения зависят только от массы и коэффициента силы пружины и не зависят от других факторов, таких как амплитуда движения или начальные условия. Мы можем использовать уравнения движения и второй закон Ньютона для определения угловой частоты, частоты и периода.

Рассмотрим блок на пружине на гладкой поверхности. На массу действуют три силы: вес, нормальная сила и сила пружины. Только две силы, действующие перпендикулярно поверхности, являются весом и нормальной силой, которые имеют одинаковую величину и противоположные направления; в результате их сумма равна нулю. Единственная сила, действующая параллельно поверхности, - это сила пружины, поэтому сумма сил должна быть равна силе пружины.

Согласно закону Гука, при достаточно малых силах и деформациях, величина силы пружины пропорциональна первой степени смещения. Именно поэтому "частота системы масса-пружина" называется линейным гармоническим осциллятором.

Подставляя выражения для ускорения и смещения во второй закон Ньютона, получаем уравнение для угловой частоты.

Угловая частота зависит только от коэффициента силы и массы, а не от амплитуды. Она также связана с периодом колебаний с помощью данного соотношения:

Период также зависит только от массы и коэффициента силы. Чем больше масса, тем дольше период. Чем жёстче пружина, тем короче период. Частота определяется следующим образом:

Рассмотрим блок массы m, соединенный с горизонтальной пружиной, размещенный над поверхностью без трения.

Результирующая сила, действующая на блок, представляет собой сумму силы, обусловленной его весом, нормальной силы и силы, действующей на пружину.

Поскольку вес и нормальная сила имеют одинаковую величину и противоположны по направлению, они компенсируют друг друга, и результирующая сила становится равной силе, возникающей под действием пружины.

Здесь величина силы пропорциональна первой степени смещения. Из-за этого систему пружина-масса называется линейным простым гармоническим осциллятором.

Используя второй закон Ньютона, сила может быть выражена в терминах ускорения.

Подставляя выражения для ускорения и перемещения, получается уравнение для угловой частоты.

Угловая частота также определяется как 2π за период колебаний.

Также обратной величиной периода является частота колебаний.

Жесткая пружина дает быстрые колебания и короткий период. Для сравнения, тяжелый объект имеет тенденцию производить вялые колебания и большой период.