Формула Эйлера для колонн с штыревыми окончаниями

Рассмотрим колонну PQ, соединенную с обоих концов штифтами, с центральной осевой нагрузкой, приложенной на конце P. Потеря устойчивости происходит, если эта нагрузка превышает критическую нагрузку.

Чтобы рассчитать критическую нагрузку, представьте колонну в виде вертикальной балки. Теперь рассмотрим точку O на упругой кривой балки, находящуюся на расстоянии x от свободного конца P и имеющую отклонение y от вертикали.

Изгибающий момент в точке О можно записать как вторую производную его прогиба по отношению к расстоянию x. Переставляя члены, получается дифференциальное уравнение второго порядка, выражающее решение в терминах синусоидальной и косинусной функций.

Первое граничное условие требует, чтобы коэффициент B был равен нулю. Второе условие требует, чтобы либо коэффициент А, либо синусоидальный член был равен нулю.

Если сделать синусоидальный член нулевым, получится выражение осевой нагрузки, наименьшее значение которого является критической нагрузкой; это формула Эйлера.

Подставляя формулу Эйлера в дифференциальное уравнение, получается уравнение для упругой кривой после потери устойчивости.