Частичные производные и газовые законы

Рассмотрим поверхность, представляющую функцию двух переменных , x и y. Частные производные дают локальные наклоны поверхности при изменении одной переменной, а другая остаётся постоянной.

Частная производная функции z через x при постоянной y представлена с помощью обозначения «завитой d».

Для функций двух переменных тотальный дифференциал суммирует все частные производные, каждая из которых умножается на бесконечно малое изменение соответствующей переменной.

Теперь представьте себе цилиндр, наполненный идеальным газом. Используя закон идеального газа, можно оценить изменение давления при температуре при постоянном объёме и числе молей.

Один из подходов заключается в перестройке закона идеального газа и последующем дифференцировании обеих сторон по температуре, сохраняя все остальные переменные неизменными.

Эту частичную производную также можно вычислить по наклону прямой, построенной путём нанесения давления идеального газа при различных температурах, но при постоянном объёме.

Более обще, для трёх переменных, связанных уравнением состояния, три частные производные, каждая взятая при удержании одной переменной постоянной, умножаются на минус единицу, что является цепочным правилом Эйлера.