Связь ДПФ с Z-преобразованием

Дискретное преобразование Фурье (DFT) анализирует частотный состав сигналов дискретного времени.

Он сопоставляет дискретную последовательность во временной области с дискретной последовательностью в частотной области, где k представляет индекс частоты от 0 до N минус один.

Для дискретной временной последовательности z-преобразование определяется путем суммирования членов последовательности, умноженных на степени обратной z.

Рассмотрим z-преобразование дискретной последовательности. Для причинно-следственной последовательности z-преобразование упрощается до конечного суммирования.

Путем выборки z-преобразования в равноудаленных точках единичной окружности, представленных комплексными экспоненциалами, эти значения подставляются в z-преобразование.

Результирующее выражение соответствует определению DFT, показывая, что DFT последовательности является выборочной версией ее z-преобразования на единичной окружности.

DFT — это выборочная версия z-преобразования, оцениваемая в определенных точках единичной окружности в комплексной плоскости, связывающая последовательности во временной области с их представлениями в частотной области.

Это показывает, что DFT — это частный случай z-преобразования, вычисленного на единичной окружности.