2.4: Производные тригонометрических функций

Движение колеса обозрения, вращающегося с постоянной скоростью, даёт интуитивно понятную модель для понимания тригонометрических функций и их производных. Когда райдер движется по круговой дорожке, вертикальная высота над землёй плавно и периодически меняется со временем. Это вертикальное движение можно точно представить синусоидальной функцией, отражающей повторяющийся узор подъёма и снижения, присущий круговому движению.

Высота и скорость изменения

Если высота всадника моделируется синусоидальной функцией, скорость изменения высоты соответствует производной этой функции. Эта скорость изменений не является постоянной; вместо этого он плавно и циклично меняется, достигая максимальных значений, когда райдер двигается быстрее всего вверх или вниз, и достигая нуля в самых высоких и нижних точках аттракциона. Математически производной синусоидальной функции является косинусовая функция,

которая фиксирует эту скорость вертикального движения.

Связанные тригонометрические производные

Косинусная функция аналогично описывает периодическое поведение, но с фазовым сдвигом относительно синусоидальной функции. Её производная отражает, как меняются значения со временем, и задаётся следующим образом

Отрицательный знак указывает на то, что косинусоидальная функция уменьшается там, где она увеличивается, и наоборот, что подчёркивает тесную связь между этими двумя функциями.

Касательная функция, определяемая как отношение синуса к косинусу, моделирует такие величины, как наклон, в периодических контекстах. Её производная напрямую следует из известных тригонометрических результатов и выражается как

Вместе эти производные отношения демонстрируют, как тригонометрические функции описывают как положение, так и скорость изменения в системах с плавным периодическим движением, например, колесо обозрения, вращающееся с постоянной скоростью.

Рассмотрим колесо обозрения, вращающееся с постоянной скоростью. Вертикальная высота точки на её краю плавно меняется со временем, следуя синусоидальной волне.

Скорость изменения высоты всадника также плавно и циклично меняется, как другая волна. Эта скорость изменения совпадает с производной синусоидальной функции.

Чтобы найти производную синуса x, начнём с предельного определения производной и применяем его к синусу x.

Сначала размножаем синус (x + h) с помощью формулы сложения. Затем переставьте термины и исключите синус x и косинус x.

Когда h приближается к нулю, косинус h минус 1 над h приближается к нулю, а синус h над h — к 1.

Подставляя эти пределы, производная синуса x равна косинусу x.

Тот же подход показывает, что производная косинуса x является отрицательным синусом x.

Поскольку касательная функция — это отношение синуса к косинусу, чтобы найти производную, применяем правило фактора. Теперь, подставляя значения производных синусоидальной и косинусовой функций и упрощая с помощью тригонометрических тождецов, производная касательной формы в квадрате секанта.