Правило цепочки

Рассмотрим систему из трёх шестерен, где x, y и z обозначают скорости вращения первой, второй и третьей передач соответственно.

Первая передача поворачивает вторую, а затем третью. Система анализируется с помощью Правила цепи с двухступенчатой переменной.

Первая ступень выражает зависимость вращения второй передачи от первой, где z является функцией x.

Вторая ступень выражает зависимость вращения третьей передачи от второй, при этом y является функцией от z.

Отсюда следует, что выход первой ступени становится входом следующей, образуя составную функцию.

Небольшое изменение одной передачи приводит к изменениям в других. Чтобы определить мгновенную скорость изменения y на x, берётся отношение дельты y к дельте x с пределом, когда дельта x приближается к нулю. Вводя промежуточную переменную дельту z, это отношение переписывается.

Когда Дельта x приближается к нулю, Дельта Z также приближается к нулю. Тогда предел произведения отношений выражается как произведение двух производных, что приводит к правилу цепочки. Это даёт производную составной функции как производную внешней функции, умноженную на производную внутренней функции.