Производные обратных тригонометрических функций

Корабль отслеживает приближающийся самолёт, измеряя наклонное расстояние и угол возвышения. Из этих измерений можно найти горизонтальные и вертикальные компоненты расстояния с помощью тригонометрических отношений

Для математического анализа изменения угла тета угла отображается как y, а отношение высоты к расстоянию отображается как x, что даёт соотношение y равно arcsin x.

Мерой того, как мгновенные изменения x влияют на y, является чувствительность к углу, и для этого требуется неявная дифференцировка.

Синус обеих сторон уравнения даёт эквивалентную тригонометрическую форму, выраженную как синус y равен x.

Это уравнение затем неявно дифференцируется по x, чтобы получить производную.

Переставив и применяя пифагорейскую тождественность, косинусную функцию можно записать в терминах синуса. Поскольку синус y равен x, это можно заменить обратно, чтобы получить производную арксина x.

Когда самолёт находится над головой, незначительное изменение x вызывает значительное изменение угла, что приводит к взрыву чувствительности слежения и последующему сбою отслеживания. Аналогично можно найти производные оставшихся обратных тригонометрических функций.