2.20
Гиперболические функции
Гибкий трос, подвешенный между двумя точками, расположенными на одной высоте, естественным образом образует кривую, известную как цепная линия. Данная…
Трос, свисающий между двумя точками на одной высоте, образует контактную трубу.
Эта кривая описывается гиперболическими функциями — особыми комбинациями экспоненциальных функций. Они так названы потому, что связаны с гиперболой так же, как стандартные тригонометрические функции относятся к окружности.
Котенарная функция описывается гиперболической косинусной функцией, которая является средним для двух обратных экспоненциальных функций. Его граф образует U-образную кривую с минимумом в точке x, равным нулю, и симметрией вокруг оси y.
Наклон в любой точке троса выражается с помощью гиперболической синусоидальной функции. Эта функция определяется как половина разницы между двумя экспоненциальными функциями. График для этого — это гладкая кривая, проходящая через начало координат и резко поднимающаяся как для положительных, так и для отрицательных значений x.
Гиперболический касательный — это отношение гиперболического синуса к гиперболическому косинусу. Его график проходит через начало координат и приближается к горизонтальным асимптотам в точке y равно единице, а y — отрицательному одному, образуя S-образную кривую.
Эти гиперболические косинусоидальные и синусоидальные функции помогают инженерам описать и рассчитывать форму и натяжение троса.
View the full transcript and gain access to JoVE Core videos
Q1: What are hyperbolic functions and how do they relate to exponential functions?
Hyperbolic functions are special combinations of exponential functions. The hyperbolic cosine is the average of two reciprocal exponential functions, while hyperbolic sine is half their difference. These functions are named for their connection to the hyperbola, similar to how trigonometric functions relate to the circle.
Q2: Why does a hanging cable form a catenary curve?
A flexible cable suspended between two points at the same height naturally forms a catenary due to the balance between the cable's weight and tension acting along its length. This represents mechanical equilibrium. The hyperbolic cosine function describes this U-shaped curve, with its lowest point at the center and symmetry about the vertical axis.
Q3: What does the hyperbolic sine function represent in a hanging cable?
The hyperbolic sine function expresses the slope at any point along the cable. It is defined as half the difference of two exponential functions and shows how steeply the cable rises away from its lowest point, increasing steadily toward the supports.
Q4: How is the hyperbolic tangent function defined and what does its graph show?
The hyperbolic tangent is the ratio of hyperbolic sine to hyperbolic cosine. Its graph passes through the origin and forms an S-shaped curve, approaching horizontal asymptotes at y equals one and y equals negative one, describing how slope behaves relative to the cable's overall shape.
Q5: What is the mathematical form of a catenary and what does the constant represent?
The catenary is described by the hyperbolic cosine function, where a constant controls the curvature of the cable and is related to the tension within it. This constant determines how sharply the cable curves under its own weight, enabling engineers to model different cable configurations.
Q6: How do engineers use hyperbolic functions to design cable-supported structures?
Engineers use hyperbolic cosine and sine functions to model the shape, slope, and tension of suspended cables. These mathematical tools provide precise descriptions of cable behavior, making them essential for designing and analyzing structures such as suspension bridges and overhead power lines.
Q7: What are the key differences between the graphs of hyperbolic cosine, sine, and tangent functions?
The hyperbolic cosine forms a U-shaped curve symmetric about the y-axis with minimum at x equals zero. Hyperbolic sine is a smooth curve through the origin rising sharply for positive and negative values. Hyperbolic tangent creates an S-shaped curve with horizontal asymptotes, and studying hyperbolic and inverse hyperbolic functions problem solving deepens understanding of these distinctions.