Объемы тел вращения

Объёмы объектов неправильной формы можно точно определить с помощью концепции тел вращения. Например, рассмотрим кривую функцию в двумерной плоскости. Вращение этой кривой вокруг оси x создаёт симметричную трёхмерную форму, известную как тело вращения. Линия, вокруг которой вращается регион, — ось революции.

Когда область лежит непосредственно у оси, она образует сплошные круговые сечения. Для определения объёма такого тела можно использовать метод диска.

Этот метод делит твердое тело на тонкие срезы, перпендикулярные оси. Каждый срез становится диском с малой шириной и радиусом, равными расстоянию от оси до кривой.

Объём каждого диска получается умножением его площади на толщину. Общий объём тела аппроксимируется суммированием объёмов всех образованных круглых дисков.

По мере увеличения числа дисков и приближения их толщины к нулю суммация переходит в определённый интеграл площади сечения за данный интервал, получая точный объём.

Переменная интегрирования и выражение радиуса зависят от ориентации оси.