Тригонометрическая подстановка

Спутники «Молния», известные своими высокоэллиптическими орбитами, отслеживают отдельные области космоса во время каждого вращения вокруг Земли.

Для оценки площади орбита моделируется в виде эллипса в её стандартной форме, которая затем переставляется в выражение с квадратным корнем.

Поскольку эллипс симметричен относительно обеих осей, площадь в первом квадранте вычисляется с помощью интегрирования и затем умножается на четыре для получения общей площади.

Здесь прямое интегрировање затруднено из-за квадратного корня. Для разрешения этого используется тригонометрическая подстановка путём подстановки x через синусоидальную функцию. Эта подстановка преобразует член квадратного корня в простую косинусную функцию, и дифференциал изменяется соответственно.

Пределы интеграции затем обновляются так, чтобы они соответствовали угловой области, варьируясь от нуля до π по двумя. Интегранд переписывается с использованием тригонометрического тождества для упрощения процесса интеграции. Этот определённый интеграл вычисляется над новыми пределами.

Последнее выражение даёт общую площадь, пройденную спутником за одну полную орбиту.